Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год

Задача №1.  Дано натуральное число $n \ge 2$, и $x_1,x_2,\ldots,x_n$ действительные числа такие, что сумма $\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}}$ — целое число. Пусть $d_k=\underset{m\in {Z}}{\min}\left|x_k-m\right|$, $1\leq k\leq n$. Найдите максимум суммы $\sum\limits_{k = 1}^n {{d_k}} .$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внутренним образом в точке $T$ ($\omega_1$ лежит внутри $\omega_2$). $M$ и $N$ — две различные точки на $\omega_1$, отличные от $T$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности $\omega_2$, проходящие через $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что если отрезки $AC$, $BD$, $MN$ пересекаются в одной точке $K$, то прямая $TK$ лежит на биссектрисе угла $MTN$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $n \ge 2$ — натуральное число и $x_1,x_2,\ldots,x_n$ — положительные действительные такие, что $\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = 1.$ Докажите, что $\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{1 - {x_i}}}} } \right)\left( {\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {{x_i}} {x_j}} \right) \le \frac{n}{2}.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  На плоскости дано 100 прямых, и пусть $T$ — множество всех прямоугольных треугольников, ограниченных тремя прямыми. Найдите максимальное значение $|T|$, где $|T|$ означает количество элементов множества $T$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник площади $S$ и $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Докажите, что для любой перестановки $x$, $y$, $z$, $w$ набора $a$, $b$, $c$, $d$ выполняется неравенство $S \leq \dfrac{xy+zw}{2}.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Для последовательности $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ действительных чисел определены следующие множества $$A = \left\{ {{a_i}|1 \leqslant i \leqslant m} \right\}{\text{ и }}B = \left\{ {{a_i} + 2{a_j}|1 \leqslant i,j \leqslant m,i \ne j} \right\}.$$ Пусть дано натуральное число $n>2$. Для любой строго возрастающей арифметической последовательности натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, определите минимально возможное число элементов множества $A \triangle B$, где $A \triangle B=(A \cup B) \setminus (A\cap B)$.
комментарий/решение

---

Задача №7.  Пусть $a \in (0,1)$, $f(z)=z^2-z+a$, $z \in \mathbb{C}$ ($\mathbb{C}$ — множество комплексных чисел). Докажите, что для любого комплексного числа $z$, где $|z| \geq 1$, существует комплексное число $z_0$ с условиями $|z_0|=1$ и $|f(z_0)| \leq |f(z)|$.
комментарий/решение

---

Задача №8.  Пусть $k$ — натуральное число и $n=(2^k)!$. Докажите, что $\sigma (n)$ имеет не менее одного простого делителя, большего чем $2^k$. Здесь $\sigma (n)$ — сумма всех положительных делителей числа $n$.
комментарий/решение(1)

---