Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год

Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внутренним образом в точке $T$ ($\omega_1$ лежит внутри $\omega_2$). $M$ и $N$ — две различные точки на $\omega_1$, отличные от $T$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности $\omega_2$, проходящие через $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что если отрезки $AC$, $BD$, $MN$ пересекаются в одной точке $K$, то прямая $TK$ лежит на биссектрисе угла $MTN$.

Комментарий/решение

$MN\cap \omega_2 = P,Q.$ Касательная к окружности $\omega_2$ в точке $T$ пересекает $MN$ в точке $R$. Пусть $P,M,K,R,Q,R$ располагаются в данном порядке на прямой.

По теореме Дезарга об инволюции для $ABCD, \omega_2$ и прямой $MN$ существует инволюция $\psi$ на прямой $MN$. Пары инволюции $(M,N),(P,Q)$, а $\psi(K)=K$. $RT^2=RM*RN=RQ*RP$, поэтому $\psi$ является инверсией относительно окружности с центром $R$. Это значит, что $RT=RK$, то есть для вершины $T$ треугольника $MTN$ точка $R$ является центром окружности Аполлония, поэтому $TK$ - биссектриса $\angle MTN$.