Processing math: 100%

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год


Две окружности ω1 и ω2 касаются внутренним образом в точке T (ω1 лежит внутри ω2). M и N — две различные точки на ω1, отличные от T. Пусть AB и CD — две хорды окружности ω2, проходящие через M и N соответственно. Докажите, что если отрезки AC, BD, MN пересекаются в одной точке K, то прямая TK лежит на биссектрисе угла MTN.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 месяца 23 дней назад #

MNω2=P,Q. Касательная к окружности ω2 в точке T пересекает MN в точке R. Пусть P,M,K,R,Q,R располагаются в данном порядке на прямой.

По теореме Дезарга об инволюции для ABCD,ω2 и прямой MN существует инволюция ψ на прямой MN. Пары инволюции (M,N),(P,Q), а ψ(K)=K. RT2=RMRN=RQRP, поэтому ψ является инверсией относительно окружности с центром R. Это значит, что RT=RK, то есть для вершины T треугольника MTN точка R является центром окружности Аполлония, поэтому TK - биссектриса MTN.