Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год

Пусть $k$ — натуральное число и $n=(2^k)!$. Докажите, что $\sigma (n)$ имеет не менее одного простого делителя, большего чем $2^k$. Здесь $\sigma (n)$ — сумма всех положительных делителей числа $n$.

Комментарий/решение

Заметим, что $v_2(n)=v_2\bigg((2^k)!\bigg)=2^{k}-1,$ тогда $2^{2^k}-1\mid \sigma(n).$ Из Теоремы Зигмонди известно, что существует простое $p\mid 2^{2^k}-1,$ при этом $p\nmid 2^i-1,\forall i=1,\ldots,2^k-1.$ Пусть $d-$показатель $2$ по модулю $p,$ тогда $d\mid 2^k$ и $d\nmid 2^i,\forall i=1,\ldots,2^k-1.$

Значит $d=2^k,$ но из Малой Теоремы Ферма следует, что $2^k\mid p-1\implies p>p-1\ge 2^k.\quad\blacksquare$