Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год


Пусть n2 — натуральное число и x1,x2,,xn — положительные действительные такие, что ni=1xi=1. Докажите, что (ni=111xi)(1i<jnxixj)n2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
6 года 8 месяца назад #

(n1i<jnxixj)=ni=1(1xi)xi2. Используя неравенство Чебышева получим требуемое.

  2
4 года 7 месяца назад #

Дополню решение выше

Так как 2n1i<jnxixj=ni=1(1xi)xi, то достаточно доказать, что (ni=111xi)(ni=1(1xi)xi)n БОО примем, что x1xn. Тогда 11x111xnи(1x1)x1(1xn)xn

По неравенству Чебышева (ni=111xi)(ni=1(1xi)xi)n(ni=111xi(1xi)xi)=n.