Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год

Пусть $n \ge 2$ — натуральное число и $x_1,x_2,\ldots,x_n$ — положительные действительные такие, что $\sum_{i=1}^nx_i=1$. Докажите, что $$\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}\right)\left(\sum_{1\le i < j\le n} x_ix_j\right)\le \frac{n}{2}.$$

Комментарий/решение

($\sum \limits_{1\leq i <j\leq n}^{n}{x_ix_j})=\frac {\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}}}{2}$. Используя неравенство Чебышева получим требуемое.

Дополню решение выше

Так как ${2\cdot\sum \limits_{1\leq i <j\leq n}^{n}{x_ix_j}=\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}}},$ то достаточно доказать, что $$(\sum \limits_{i=1}^{n} {\dfrac{1}{1-x_{i}}})(\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}})\le n$$ БОО примем, что $x_1\le\ldots\le x_n.$ Тогда $$\dfrac{1}{1-x_1}\le\ldots\le \dfrac{1}{1-x_n}\quad\text{и}\quad (1-x_1)x_1\le\ldots\le (1-x_n)x_n$$

По неравенству Чебышева $$(\sum \limits_{i=1}^{n} {\dfrac{1}{1-x_{i}}})(\sum \limits_{i=1}^{n}{(1-x_{i})x_{i}})\le n( \sum \limits_{i=1}^{n} {\dfrac{1}{1-x_{i}}} \cdot (1-x_i)x_i )=n.\quad\square$$