Западно-Китайская математическая олимпиада, 2009 год

Задача №1. Из множества действительных чисел выбросили какое-то конечное число элементов и получили множество

$M$ . Докажите, что для любого натурального

$n$ существует многочлен

$f(x)$ степени

$n$ такой, что все коэффициенты и

$n$ действительных корней

$f$ лежат в

$M$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дано целое

$n\ge\ 3$ . Найдите наименьшее натуральное

$k$ такое, что существует

$k$ -элементное множество

$A$ и

$n$ различных действительных

$x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ , для которых числа

$x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3},\ldots, x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$ лежат в

$A$ .
комментарий/решение

Задача №3.

$H$ — ортоцентр остроугольного треугольника

$ABC$ и

$D$ — середина

$BC$ . Прямая, проходящая через

$H$ пересекает

$AB,AC$ в

$F,E$ , соответственно, причем

$AE=AF$ . Луч

$DH$ пересекает описанную окружность

$\triangle ABC$ в точке

$P$ . Докажите, что

$P,A,E,F$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для любого натурального

$k$ существует бесконечно много натуральных

$n$ таких, что числа

$2^{n}+3^{n}-1, 2^{n}+3^{n}-2,\ldots, 2^{n}+3^{n}-k$ являются составными.
комментарий/решение

Задача №5. Определим последовательность

$(x_{n})_{n\geq 1}$ следующим образом:

$x_{1}\in\left\{5,7\right\}$ , а при

$k\ge 1$ ,

$x_{k+1}\in\left\{5^{x_{k}},7^{x_{k}}\right\}$ . На какие две цифры может оканчиваться число

$x_{2009}$ ?
комментарий/решение

Задача №6.

$D$ — точка на стороне

$BC$ остроугольного треугольника

$ABC$ . Окружность, построенная на

$BD$ как на диаметре, пересекает

$AB,AD$ в

$X,P$ (отличных от

$B,D$ ), соответственно. Окружность, построенная на

$CD$ как на диаметре, пересекает

$AC,AD$ в

$Y,Q$ (отличных от

$C,D$ ), соответственно.

$M,N$ — проекции точки

$A$ на

$PX,QY$ , соответственно. Докажите, что

$\triangle AMN$ подобен

$\triangle ABC$ тогда и только тогда, когда

$AD$ проходит через центр описанной окружности

$\triangle ABC$ .
комментарий/решение

Задача №7.

$n > 12$ школьников участвуют в олимпиаде по математике, на которой предлагаются

$15$ задач. За правильное решение каждой задачи дается

$1$ балл, а за неправильное —

$0$ баллов. Найдите наименьшее

$n$ , при котором если любые

$12$ школьников в сумме набрали хотя бы

$36$ баллов, то найдутся

$3$ школьника, среди решенных задач которых есть хотя бы

$3$ общие.
комментарий/решение

Задача №8. Действительные числа

$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ , где

$n\ge 3$ , удовлетворяют условиям:

$\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = 0$ и

$2a_{k}\le\ a_{k-1}+a_{k+1}$ при

$k=2,3,\ldots ,n-1$ . Найдите наименьшее

$f(n)$ такое, что для всех

$k\in\left\{1,2,\ldots ,n\right\}$ выполняется неравенство

$|a_{k}|\le f(n)\max\left\{|a_{1}|,|a_{n}|\right\}.$
комментарий/решение