Западно-Китайская математическая олимпиада, 2009 год

$D$ — точка на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, построенная на $BD$ как на диаметре, пересекает $AB,AD$ в $X,P$ (отличных от $B,D$), соответственно. Окружность, построенная на $CD$ как на диаметре, пересекает $AC,AD$ в $Y,Q$ (отличных от $C,D$), соответственно. $M,N$ — проекции точки $A$ на $PX,QY$, соответственно. Докажите, что $\triangle AMN$ подобен $\triangle ABC$ тогда и только тогда, когда $AD$ проходит через центр описанной окружности $\triangle ABC$.