Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год

Задача №1. Найдите все натуральные

$n$ , для которых

$n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ — точный квадрат.
комментарий/решение(12)

Задача №2. Пусть

$O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Точка

$P$ лежит внутри треугольника

$AOB$ . Точки

$D,E,F$ являются проекциями

$P$ на стороны

$BC,CA,AB$ , соответственно. Докажите, что параллелограмм, в котором отрезки

$FE$ и

$FD$ являются соседними сторонами, лежит целиком внутри треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Рассмотрим квадраты на комплексной плоскости, обладающие следующим свойством: комплексные числа, соответствующие вершинам квадрата, являются корнями многочлена

$x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s$ с целыми коэффициентами. Найдите наименьшую возможную площадь такого квадрата.
комментарий/решение

Задача №4. Пусть

$n$ — натуральное число,

$A_{1},A_{2},\ldots,A_{n + 1}$ — непустые подмножества

$\{1,2,\ldots,n\}$ . Докажите, что существуют два непересекающихся непустых подмножества

$\{1,2,\ldots,n + 1\}$ :

$\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\}$ и

$\{j_{1},j_{2},\ldots,j_{m}\}$ таких, что

$A_{i_{1}}\cup A_{i_{2}}\cup\ldots\cup A_{i_{k}} = A_{j_{1}}\cup A_{j_{2}}\cup\ldots\cup A_{j_{m}}$ .
комментарий/решение

Задача №5. Дана трапеция

$ABCD$ , в которой

$AD\parallel BC.$ Точка

$E$ движется по стороне

$AB.$ Пусть

$O_{1},O_{2}$ — центры описанных окружностей треугольников

$AED,BEC$ , соответственно. Докажите, что длина отрезка

$O_{1}O_{2}$ постоянна.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Дано натуральное

$n$ . Найдите все последовательности целых чисел

$(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$ , удовлетворяющие следующим условиям:
(i)

$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\ge n^2$ ;
(ii)

$a_{1}^2+a_{2}^2+\ldots+a_{n}^2\le n^3+1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Предположим, что

$\alpha$ и

$\beta$ — два корня уравнения

$x^2-x-1=0$ . Пусть

$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ для

$n=1, 2, \ldots$ .
а) Докажите, что для любого натурального

$n$ верно равенство

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ .
б) Найдите все натуральные числа

$a$ и

$b$ такие, что

$a < b$ и

$b \mid a_n-2na^n$ при любом натуральном

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Пусть

$S=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ — самая длинная последовательность из нулей и единиц, удовлетворяющая следующему условию: пятиэлементные подпоследовательности

$S$ попарно различны, т.е. для любых

$1\le i < j\le n-4$ ,

$(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4})$ и

$(a_j, a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, a_{j+4})$ не равны. Докажите, что первые и последние четыре члена последовательности совпадают.
комментарий/решение(1)