Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год

Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Точка $P$ лежит внутри треугольника $AOB$. Точки $D,E,F$ являются проекциями $P$ на стороны $BC,CA,AB$, соответственно. Докажите, что параллелограмм, в котором отрезки $FE$ и $FD$ являются соседними сторонами, лежит целиком внутри треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Пусть

$\angle BAC=\alpha$

$\angle ABC=\beta$

$\angle ACB=\gamma$

Пусть $P$ четвертая точка параллелограмма $FEKD$.

Достаточно Доказать

$\angle AEF+\angle FEK<180^o$ и

$\angle BDF+\angle FDK<180^o$

$Д-во:$

У нас:

$90^o+\angle OBP>90^o$

$\Longleftrightarrow$

$\gamma+\angle PAF+\angle OAP+\angle OBP>90^o$

Поэтому

$\angle EAP+\angle PBD=\gamma+\angle OAP+\angle OBP>90^o-\angle PAF=\angle APF=\angle AEF$

$\Longleftrightarrow$

$\angle EFD>\angle AEF$

$\Longleftrightarrow$

$\angle AEF+180^o-\angle EFD<180^o$

$\Longleftrightarrow$

$\angle AEF+\angle FEK<180^o$

Аналогично

$\angle BDF+\angle FDK<180^o$

Поэтому параллелограмм $FEKD$ лежит целиком внутри $\triangle ABC$