Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год
Дана трапеция ABCD, в которой AD∥BC. Точка E движется по стороне AB. Пусть O1,O2 — центры описанных окружностей треугольников AED,BEC, соответственно. Докажите, что длина отрезка O1O2 постоянна.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
ω:O1H1⊥EB,(H1∈AB)⇔BH1=EH1Ω:O2H2⊥AE,(H2∈AB)⇔AH2=EH2
⇒AB=2(EH1+EH2)=2H1H2⇒H1H2=AB2
◻O1H2BT:∠ABC+∠H2O1T=π
◻O1H2H1O2:O2Q⊥H2O1⇒O2Q=H1H2=AB2
△O1O2Q:O1O2=O2Qsin(∠O2O1Q)=AB2sin(∠ABC)
O1O2=AB2sin(∠ABC)=const
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.