Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год


Дана трапеция ABCD, в которой ADBC. Точка E движется по стороне AB. Пусть O1,O2 — центры описанных окружностей треугольников AED,BEC, соответственно. Докажите, что длина отрезка O1O2 постоянна.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 10 месяца назад #

ω:O1H1EB,(H1AB)BH1=EH1Ω:O2H2AE,(H2AB)AH2=EH2

AB=2(EH1+EH2)=2H1H2H1H2=AB2

O1H2BT:ABC+H2O1T=π

O1H2H1O2:O2QH2O1O2Q=H1H2=AB2

O1O2Q:O1O2=O2Qsin(O2O1Q)=AB2sin(ABC)

O1O2=AB2sin(ABC)=const

  0
1 года 2 месяца назад #

По лемме Фусса точка (AED)(BCE)=FCD. Тогда:

ABF=EO2O1,BAF=EO1O2ABFO1O2E.

O1O2AB=O1EAF=constFDA=const.