Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год

Предположим, что $\alpha$ и $\beta$ — два корня уравнения $x^2-x-1=0$. Пусть $a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ для $n=1, 2, \ldots$.
а) Докажите, что для любого натурального $n$ верно равенство $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$.
б) Найдите все натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a < b$ и $b \mid a_n-2na^n$ при любом натуральном $n$.

Комментарий/решение

$$(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-x-1\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=x^2-x-1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \alpha+\beta=1 \qquad \alpha\cdot \beta=-1$$

$$a) a_{n+2}= a_{n+1}+ a_{n} \Leftrightarrow \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n}}=1$$

$$\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{{\alpha}^{n+2}-{\beta}^{n+2}-{\alpha}^{n+1}+{\beta}^{n+1}}{{\alpha}^{n}-{\beta}^{n}}=\frac{{\alpha}^{n+1}(\alpha-1)+{\beta}^{n+1}(1-\beta)}{{\alpha}^{n}-{\beta}^{n}}=$$

$$=\frac{-\beta{\alpha}^{n+1}+{\beta}^{n+1}\alpha}{{\alpha}^{n}-{\beta}^{n}}=\Bigg| \beta=-\alpha^{-1}\Bigg|=\frac{{\alpha}^{n}+{(-1)}^{n+1}{\alpha}^{-n}}{{\alpha}^{n}-{(-1)}^{n}{\alpha}^{-n}}=\frac{{\alpha}^{n}+{(-1)}^{n+1}{\alpha}^{-n}}{{\alpha}^{n}+{(-1)}^{n+1}{\alpha}^{-n}}=1$$