Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы, Варна, Болгария, 2017 жыл

Есеп №1. Қатар келген алты натурал сандарың қандай да бір

$a,$

$b,$

$c,$

$d,$

$e,$

$f$ орын алмасуы үшін

$ab+cd=ef$ теңдігі орындалатындай алтын сандарды табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Өзара әртүрлі натурал

$x,$

$y$ және

$z$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$(x+y+z)(xy+xy+yz-2)\ge 9xyz$ . Қандай

$x,$

$y$ және

$z$ сандары үшін теңдік орындалады?
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Центрі

$O$ нүктесі болатын

$\Gamma$ шеңбердің ішіне сүйірбұрышты

$ABC(AB\ne BC)$ үшбұрышы сызылған.

$AD\bot BC$ болатындай,

$\Gamma$ шеңберінің бойында

$D$ нүктесі табылсын, ал

$M$ нүктесі

$BC$ қабырғасының ортасы болсын.

$BDCT$ параллелограмм болатындай және

$\angle BQM=\angle BCA,$

$\angle CQM=\angle CBA$ болатындай,

$BC$ қабырғасының бір жағында жататын T және

$Q$ нүктелерін қарастырайық.

$AO$ түзуі

$\Gamma$ шеңберін

$E(E\ne A)$ нүктесінде қисын, ал

$ETQ$ шеңберіне сырттай салынған шеңбер

$\Gamma$ шеңберін

$X\ne E$ нүктесінде қисын.

$A,$

$M$ және

$X$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Жазықтықта дұрыс

$2n$ бұрышы бар

$P$ :

${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{2n}}$ ,

$n$ — натурал сан болатын, көпбұрышы берілсін. Егер

$SE$ кесіндісінде,

$P$ көпбұрышының бойындағы

$S$ нүктесінен басқа нүктелер орналаспаса,

$P$ көпбұрышынан тыс жатқан

$E$ нүктесінен,

$P$ қабырғасының бір жағында орналасқан

$S$ нүктесі көрінеді деп айтайық. Әрбір түс кем дегенде бір рет пайдаланатындай,

$P$ қабырғасындағы нүктелерді (

$P$ қабырғасының төбелері түссіз қалады) үш түске бояйық. Сонымен қатар,

$P$ көпбұрышынан тыс орналасқан әрбір нүктеден,

$P$ қабырғаларындағы екі немесе екіден көп түске боялған нүктелер көрінеді. Барлық мүмкін

$P$ көпмүшесінің боялу санын табыңыз (Егер кем дегенде бір қабырға әртүрлі түске боялса, көпбұрыштың екі түрлі боялуы әртүрлі болып есептеледі).
комментарий/решение(1)

результаты