20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров г. Варна, Болгария, 2017 год

Для попарно различных натуральных чисел $x$, $y$ и $z$ докажите неравенство $(x+y+z)(xy+xy+yz-2) \geq 9xyz.$ Для каких $x$, $y$ и $z$ достигается равенство?

Комментарий/решение

В условий опечатка: $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\ge 9xyz.$$

Решение: Б.О.О. примем, что $x>y>z.$ Задача равносильна с неравенством $$(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz\ge 2(x+y+z)$$ $$\iff$$ $$x\cdot(y-z)^2+y\cdot(x-z)^2+z\cdot(x-y)^2\ge 2(x+y+z)\quad (\color{red}{1})$$

$\\$

Заменим $x=y+b=z+b+c,$ где из предположения $b,c\ge 1$

$$(\color{red}{1})\iff (z+b+c) \cdot c^2 + (z+c) \cdot (b+c)^2 + z \cdot b^2 - 2(z+b+c)- 2(z+c) - 2z$$

$$=2z(b^2+c^2+bc-3)+2b(c^2-1)+c(b^2+2c^2+bc-4)$$ $$\ge 2z(1+1+1-3)+2b(1-1)+c(1+1+2-4)\ge 0.\quad\blacksquare$$

Из последнего неравенства следует, что равенство достигается при $b=c=1\iff x,y,z$ последовательные натуральные числа.

$x>y>z$ деп алсақ жалпылыққа әсер етпейді.

$y=z+a, x = z+a+b$ деп алайық, мұндағы $a,b,z\ge 1$.

$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)-9xyz = $

$= 2 a^3 + 3 a^2 b + 2 a^2 z + a b^2 + 2 a b z - 4 a + 2 b^2 z - 2 b - 6 z=$

$=2z(a^2+ab +b^2 - 3 ) +2a(a^2+ab-2) + b(a^2 + a b - 2) \ge 0$