Processing math: 100%

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы, Варна, Болгария, 2017 жыл


Өзара әртүрлі натурал x, y және z сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: (x+y+z)(xy+xy+yz2)9xyz. Қандай x, y және z сандары үшін теңдік орындалады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5
4 года 4 месяца назад #

В условий опечатка: (x+y+z)(xy+yz+zx2)9xyz.

Решение: Б.О.О. примем, что x>y>z. Задача равносильна с неравенством (x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz2(x+y+z) x(yz)2+y(xz)2+z(xy)22(x+y+z)(1)

Заменим x=y+b=z+b+c, где из предположения b,c1

(1)(z+b+c)c2+(z+c)(b+c)2+zb22(z+b+c)2(z+c)2z

=2z(b2+c2+bc3)+2b(c21)+c(b2+2c2+bc4) 2z(1+1+13)+2b(11)+c(1+1+24)0.

Из последнего неравенства следует, что равенство достигается при b=c=1x,y,z последовательные натуральные числа.

  2
1 года 11 месяца назад #

x>y>z деп алсақ жалпылыққа әсер етпейді.

y=z+a,x=z+a+b деп алайық, мұндағы a,b,z1.

(x+y+z)(xy+yz+zx2)9xyz=

=2a3+3a2b+2a2z+ab2+2abz4a+2b2z2b6z=

=2z(a2+ab+b23)+2a(a2+ab2)+b(a2+ab2)0