Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы, Варна, Болгария, 2017 жыл
Өзара әртүрлі натурал x, y және z сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: (x+y+z)(xy+xy+yz−2)≥9xyz. Қандай x, y және z сандары үшін теңдік орындалады?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
В условий опечатка: (x+y+z)(xy+yz+zx−2)≥9xyz.
Решение: Б.О.О. примем, что x>y>z. Задача равносильна с неравенством (x+y+z)(xy+yz+zx)−9xyz≥2(x+y+z) ⟺ x⋅(y−z)2+y⋅(x−z)2+z⋅(x−y)2≥2(x+y+z)(1)
Заменим x=y+b=z+b+c, где из предположения b,c≥1
(1)⟺(z+b+c)⋅c2+(z+c)⋅(b+c)2+z⋅b2−2(z+b+c)−2(z+c)−2z
=2z(b2+c2+bc−3)+2b(c2−1)+c(b2+2c2+bc−4) ≥2z(1+1+1−3)+2b(1−1)+c(1+1+2−4)≥0.◼
Из последнего неравенства следует, что равенство достигается при b=c=1⟺x,y,z последовательные натуральные числа.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.