20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров г. Варна, Болгария, 2017 год

Задача №1. Найдите все шестерки последовательных натуральных чисел таких, что для какой-нибудь их перестановки

$a,b,c,d,e,f$ выполнено равенство

$ab+cd=ef.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Для попарно различных натуральных чисел

$x$ ,

$y$ и

$z$ докажите неравенство

$(x+y+z)(xy+xy+yz-2) \geq 9xyz.$ Для каких

$x$ ,

$y$ и

$z$ достигается равенство?
комментарий/решение(2)

Задача №3. Остроугольный треугольник

$ABC$

$(AB \neq BC)$ вписан в окружность

$\Gamma$ , центром которой является точка

$O$ . Пусть

$M$ — середина стороны

$BC$ , а точка

$D$ лежит на

$\Gamma$ так, что

$AD \perp BC.$ Рассмотрим точки

$T$ и

$Q$ , лежащие по одну сторону от прямой

$BC$ , такие, что

$BDCT$ — параллелограмм и

$\angle BQM=\angle BCA,$

$\angle CQM=\angle CBA.$ Пусть прямая

$AO$ пересекает

$\Gamma$ в точке

$E$

$(E \neq A)$ , а описанная окружность треугольника

$ETQ$ пересекает

$\Gamma$ в точке

$X \neq E.$ Докажите, что точки

$A$ ,

$M$ и

$X$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №4. На плоскости дан правильный

$2n$ -угольник

$P$ :

$A_{1}A_{2} \dots A_{2n}$ , где

$n$ — натуральное число. Будем говорить, что точка

$S$ , лежащая на одной из сторон

$P$ , может быть видна из точки

$E$ , лежащей вне

$P$ , если отрезок

$SE$ не содержит других точек лежащих на

$P$ кроме

$S$ . Окрасим все точки на сторонах

$P$ кроме вершин в три цвета (вершины

$P$ остаются бесцветными) так, что каждая сторона окрашена в один цвет и каждый цвет использован хотя бы раз. Более того, из каждой точки вне

$P$ могут быть видны точки на сторонах

$P$ двух или более цветов. Найдите всевозможное количество таких раскрасок

$P$ (Две раскраски многоугольников считаются разными, если хотя бы одна из сторон окрашена иначе).
комментарий/решение(1)

результаты