20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров г. Варна, Болгария, 2017 год

Найдите все шестерки последовательных натуральных чисел таких, что для какой-нибудь их перестановки $a,b,c,d,e,f$ выполнено равенство $ab+cd=ef.$

Комментарий/решение

Пусть $a_0=a_1+1=a_2+2=...=a_5+5, (r_1, r_2,... r_6)=(0,1,2,3,4,5)$, тогда, подставляя, $a_0^2+a_0(r_1+r_2+r_3+r_4-r_5-r_6)+r_1r_2+r_3r_4-r_5r_6=.$ Если хотя бы $1$ из $r_5, r_6$ будет $<2,$ выходим на противоречие, так как тогда квадратичное уравнение $>0$. Дальше рассматриваем случаи: $(r_5, r_6)=(2,3),(2,4),...(4,5)$, находим ответы: $3*6+2*5=7*4; 3*6+1*2=4*5, 7*8+6*9=10*11$

Пусть числа это ${x,x+1,…,x+5}$, достаточно показать что при $x\geq 7$ таких чисел не существует, покажем это следующим способом: $ef \leq (x+4)(x+5)$ а $ab+cd \geq x*(x+3)+(x+1)(x+2)$ (разберите три случая, это всегда будет так). И при $x \geq 7$, слева будет больше чем справа.

Осталось разобрать $x=1,2,3,4,5,6$, при $x=3,4,5$, можно легко доказать что это невозможно с перебором и с тем фактом что два числа делящихся на $3$ будут лежать в одном произведении.

Ответы: $\boxed{[1,2],[3,6],[4,5]}, \boxed{[3,6],[2,5],[7,4]}, \boxed{[6,9],[7,8],[10,11]}$