қазақша
русскийМатематикадан 34-ші Балкан олимпиадасы, Орхид, Македония 2017 жыл
Есеп №1. ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{x}^{2}}+42xy+{{y}^{2}}$ болатындай, $(x,y)$ барлық реттелген бүтін оң сандар жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $AB < AC$ болатындай, сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы берілсін және $\Gamma $ шеңбері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылсын. ${{t}_{b}}$ және ${{t}_{c}}$ түзулері $\Gamma $ шеңберімен $B$ және $C$ нүктелерінде жанассын және $L$ нүктесі ${{t}_{b}}$ және ${{t}_{c}}$ түзулерінің ортақ нүктесі болсын. $B$ нүктесі арқылы өтетін түзу, $AC$ қабырғасына параллель ${{t}_{c}}$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $C$ нүктесі арқылы өтетін түзу, $AB$ қабырғасына параллель ${{t}_{b}}$ түзуін $E$ нүктесінде қияды. $T$ нүктесі $A$ және $C$ нүктелері арасында жататындай, $BDC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AC$ қабырғасын $T$ нүктесінде қияды. $B$ нүктесі $A$ және $S$ нүктелері арасында жататындай, $BEC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, $AB$ қабырғасын $S$ нүктесінде қияды. $ST,$ $BC$ және $AL$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $\mathbb{N}$ — барлық бүтін оң сандардың жиыны болсын. Кез келген $m,n\in \mathbb{N}$ сандары үшін $f\left( n \right)+nf\left( m \right)$ саны $n+f\left( m \right)$ санына бөлінетіндей, барлық $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №4. $n$ $(n > 2)$ студент дөңгелек үстелде отырсын. Алғашында әр студентте бір кәмпит бар. Кейін әрбір жүрісте әрбір студент келесі екі амалдын бірін таңдайды:
a) оң жақтағы немесе сол жақтағы көршіге бір кәмпит беру;
b) өзінің барлық кәмпиттерін екіге бөліп, бір бөлік бос болуы мүмкін, бір бөлігін оң жақтағы көршіге, ал басқа бөлігін сол жақтағы көршіге беру.
Әрбір жүрісте барлық студенттер амалды, бір уақытта жасайды. Егер алғашқы үлестірімге, шекті сан рет амал жасалып, қайтадан алғашқы үлестірім алынса, кәмпиттер үлестірімін заңды деп атаймыз (Егер бір студентте екі үлестірімде әртүрлі кәмпиттер саны болса, осы екі үлестірім әртүрлі деп есептеледі).
комментарий/решение
a) оң жақтағы немесе сол жақтағы көршіге бір кәмпит беру;
b) өзінің барлық кәмпиттерін екіге бөліп, бір бөлік бос болуы мүмкін, бір бөлігін оң жақтағы көршіге, ал басқа бөлігін сол жақтағы көршіге беру.
Әрбір жүрісте барлық студенттер амалды, бір уақытта жасайды. Егер алғашқы үлестірімге, шекті сан рет амал жасалып, қайтадан алғашқы үлестірім алынса, кәмпиттер үлестірімін заңды деп атаймыз (Егер бір студентте екі үлестірімде әртүрлі кәмпиттер саны болса, осы екі үлестірім әртүрлі деп есептеледі).
комментарий/решение