34-я Балканская математическая олимпиада. Орхид, Македония, 2017 год
Пусть N — множество всех целых положительных чисел. Найдите все функции f:N→N такие, что для любых m,n∈N число f(n)+nf(m) делится на n+f(m).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: Пусть P(n,m) искомая делимость.
P(1,1):f(1)+1∣2f(1)⟹f(1)=1.
Ясно, что f(n)≡n2 подходит. Теперь допустим найдется p>1,f(p)≠p2. Перепишем P(n,m) таким образом
n+f(m)∣f(n)−n2&n+f(m)∣f(n)−f(m)2
P(p,m):p+f(m)∣f(p)−p2⟹f(m)≤C,∀m∈N, причем C такое натуральное, что f в некоторой точке q равна C.
P(n,q):n+C∣C2−f(n)∈[C2−C,C2−1], но n+C неограниченна сверху, поэтому для всех n начиная с некоторого момента f(n)=C2≤C⟹C=1, далее легко понять, что f(m)≡1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.