Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

34-я Балканская математическая олимпиада. Орхид, Македония, 2017 год


Пусть N — множество всех целых положительных чисел. Найдите все функции f:NN такие, что для любых m,nN число f(n)+nf(m) делится на n+f(m).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -3
5 года 8 месяца назад #

пред. Правка 2   1
4 года 1 месяца назад #

  1
4 года 1 месяца назад #

Есть ещё один ответ:

f(x)=x2

Вы допустили ошибку: если t4 Делится t+2 То есть решение t=4

  0
4 года 1 месяца назад #

Спасибо. Пока удалю решение

пред. Правка 3   6
2 года 10 месяца назад #

Решение: Пусть P(n,m) искомая делимость.

P(1,1):f(1)+12f(1)f(1)=1.

Ясно, что f(n)n2 подходит. Теперь допустим найдется p>1,f(p)p2. Перепишем P(n,m) таким образом

n+f(m)f(n)n2&n+f(m)f(n)f(m)2

P(p,m):p+f(m)f(p)p2f(m)C,mN, причем C такое натуральное, что f в некоторой точке q равна C.

P(n,q):n+CC2f(n)[C2C,C21], но n+C неограниченна сверху, поэтому для всех n начиная с некоторого момента f(n)=C2CC=1, далее легко понять, что f(m)1.