Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 34-ші Балкан олимпиадасы, Орхид, Македония 2017 жыл


N — барлық бүтін оң сандардың жиыны болсын. Кез келген m,nN сандары үшін f(n)+nf(m) саны n+f(m) санына бөлінетіндей, барлық f:NN функцияларын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -2
5 года 10 месяца назад #

пред. Правка 2   1
4 года 2 месяца назад #

  1
4 года 3 месяца назад #

Есть ещё один ответ:

f(x)=x2

Вы допустили ошибку: если t4 Делится t+2 То есть решение t=4

  0
4 года 2 месяца назад #

Спасибо. Пока удалю решение

пред. Правка 3   6
3 года назад #

Решение: Пусть P(n,m) искомая делимость.

P(1,1):f(1)+12f(1)f(1)=1.

Ясно, что f(n)n2 подходит. Теперь допустим найдется p>1,f(p)p2. Перепишем P(n,m) таким образом

n+f(m)f(n)n2&n+f(m)f(n)f(m)2

P(p,m):p+f(m)f(p)p2f(m)C,mN, причем C такое натуральное, что f в некоторой точке q равна C.

P(n,q):n+CC2f(n)[C2C,C21], но n+C неограниченна сверху, поэтому для всех n начиная с некоторого момента f(n)=C2CC=1, далее легко понять, что f(m)1.

  0
2 дней 7 часов назад #

Идея такая же как у ASDF но чуть чуть по другому:

P(1,1)=>>f(1)+1|2f(1)=>f(1)=1.

n+f(m)|f(n)+nf(m)n2nf(m)=>n+f(m)|f(n)n2.

Очевидно что f(x)=x2 подходит. Теперь пусть для какого то k натурального f(k) не равен k2. Зафиксируем его , и тогда:

f(n)f(k)k2 =>> f- ограничена. Тогда:

k+f(1)|f(k)k2+k21=f(k)1 и отсюда из ограничение f следует что f(k)=1.