34-я Балканская математическая олимпиада. Орхид, Македония, 2017 год

Найдите все упорядоченные пары целых положительных чисел $\left( x,y \right)$ такие, что ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{x}^{2}}+42xy+{{y}^{2}}.$

Комментарий/решение

$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2, \qquad x,y \in \mathbb{Z}_{+} \qquad \quad (1)$$

$ \textbf{Решение:} \qquad (1) \Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^2-xy+y^2+43xy \Leftrightarrow x+y=1+\frac{43xy}{x^2-xy+y^2}. $ Поскольку $x$ и $y-$ целые, то $\frac{43xy}{x^2-xy+y^2}$ должно быть целым числом. Наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$ будем обозначать $ (x,y)=d.$ Тогда $x=dx_0, y=dy_0$ и числа $x_0$ и $y_0$ взаимно просты. $(\Leftrightarrow (x_0,y_0)=1)$

$$ \mathbb{Z}_{+}\ni \frac{43xy}{x^2-xy+y^2}=\frac{43x_0y_0}{x_0^2-x_0y_0+y_0^2}, \qquad (x_0,x_0^2-x_0y_0+y_0^2)=(y_0,x_0^2-x_0y_0+y_0^2)=1\Rightarrow$$

$$ 1) \quad x_0^2-x_0y_0+y_0^2=1 \Rightarrow (x_0-y_0)^2=1-x_0y_0\geq 1 \Rightarrow x_0=y_0=1\Rightarrow x=y=d \Rightarrow 2d^3-44d^2=0 \Rightarrow x=y=22$$

$$ 2)\quad x_0^2-x_0y_0+y_0^2=43 \Rightarrow$$

$$ a) x_0>y_0 \Rightarrow 43=x_0^2-x_0y_0+y_0^2>y_0^2 \Rightarrow 43>y_0^2 \Rightarrow y_0 \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \Rightarrow y_0=1,x_0=7 \Rightarrow x=7,y=1$$

$$ c) x_0<y_0 \Rightarrow 43=x_0^2-x_0y_0+y_0^2>x_0^2 \Rightarrow 43>x_0^2 \Rightarrow x_0 \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \Rightarrow x_0=1,y_0=7 \Rightarrow y=7,x=1$$

$\textbf{Ответ:} \qquad (x,y)=\left\{ (1,7),(7,1),(22,22) \right\}.$