Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 34-ші Балкан олимпиадасы, Орхид, Македония 2017 жыл


x3+y3=x2+42xy+y2 болатындай, (x,y) барлық реттелген бүтін оң сандар жұптарын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
5 года 9 месяца назад #

x3+y3=x2+42xy+y2,x,yZ+(1)$

Решение:(1)(x+y)(x2xy+y2)=x2xy+y2+43xyx+y=1+43xyx2xy+y2. Поскольку x и y целые, то 43xyx2xy+y2 должно быть целым числом. Наибольший общий делитель чисел x и y будем обозначать (x,y)=d. Тогда x=dx0,y=dy0 и числа x0 и y0 взаимно просты. ((x0,y0)=1)

Z+43xyx2xy+y2=43x0y0x20x0y0+y20,(x0,x20x0y0+y20)=(y0,x20x0y0+y20)=1

1)x20x0y0+y20=1(x0y0)2=1x0y01x0=y0=1x=y=d2d344d2=0x=y=22

2)x20x0y0+y20=43

a)x0>y043=x20x0y0+y20>y2043>y20y0{1,2,3,4,5,6}y0=1,x0=7x=7,y=1

c)x0<y043=x20x0y0+y20>x2043>x20x0{1,2,3,4,5,6}x0=1,y0=7y=7,x=1

Ответ:(x,y)={(1,7),(7,1),(22,22)}.