Математикадан 34-ші Балкан олимпиадасы, Орхид, Македония 2017 жыл
x3+y3=x2+42xy+y2 болатындай, (x,y) барлық реттелген бүтін оң сандар жұптарын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x3+y3=x2+42xy+y2,x,y∈Z+(1)$
Решение:(1)⇔(x+y)(x2−xy+y2)=x2−xy+y2+43xy⇔x+y=1+43xyx2−xy+y2. Поскольку x и y− целые, то 43xyx2−xy+y2 должно быть целым числом. Наибольший общий делитель чисел x и y будем обозначать (x,y)=d. Тогда x=dx0,y=dy0 и числа x0 и y0 взаимно просты. (⇔(x0,y0)=1)
Z+∋43xyx2−xy+y2=43x0y0x20−x0y0+y20,(x0,x20−x0y0+y20)=(y0,x20−x0y0+y20)=1⇒
1)x20−x0y0+y20=1⇒(x0−y0)2=1−x0y0≥1⇒x0=y0=1⇒x=y=d⇒2d3−44d2=0⇒x=y=22
2)x20−x0y0+y20=43⇒
a)x0>y0⇒43=x20−x0y0+y20>y20⇒43>y20⇒y0∈{1,2,3,4,5,6}⇒y0=1,x0=7⇒x=7,y=1
c)x0<y0⇒43=x20−x0y0+y20>x20⇒43>x20⇒x0∈{1,2,3,4,5,6}⇒x0=1,y0=7⇒y=7,x=1
Ответ:(x,y)={(1,7),(7,1),(22,22)}.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.