19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
г. Статина, Румыния, 2016 год

Задача №1.  Трапеция $ABCD$, где $AB \parallel CD$ и $AB > CD$, описана около окружности $\omega$. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что центр окружности $\omega$ лежит на прямой $MN$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Для положительных действительных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство \[\frac{8}{{{{(a + b)}^2} + 4abc}} + \frac{8}{{{{(b + c)}^2} + 4abc}} + \frac{8}{{{{(c + a)}^2} + 4abc}} + {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge\] \[ \ge \frac{8}{{a + 3}} + \frac{8}{{b + 3}} + \frac{8}{{c + 3}}.\]
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Найдите все тройки целых чисел $(a,b,c)$, для которых число $ N=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$ является степенью числа 2016.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4. Назовем таблицу $5 \times 5$ правильной, если каждая из ее клеток содержит одно из четырех попарно различных действительных чисел таким образом, что каждой число встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $ 2 \times 2$. Сумму всех чисел правильной таблицы назовем полной суммой. Для любых четырех чисел строятся всевозможные правильные таблицы, и после для каждой построенной правильной таблицы вычисляются их полные суммы. Определите максимально возможное количество различных полных сумм.
комментарий/решение

---