Математикадан жасөспірімдер арасындағы 19-шы Балкан олимпиадасы, Статина, Румыния, 2016 жыл

Есеп №1. $AB \parallel CD$ және $AB > CD$ болатын $ABCD$ трапециясы $\omega$ шеңберіне сырттай сызылған. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. $\omega$ шеңберінің центрі $MN$ түзуінде жататынын дәлеледеңіздер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. $a$, $b$ және $c$ оң нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{8}{{{{(a + b)}^2} + 4abc}} + \dfrac{8}{{{{(b + c)}^2} + 4abc}} + \dfrac{8}{{{{(c + a)}^2} + 4abc}} + {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge$ $ \ge \dfrac{8}{{a + 3}} + \dfrac{8}{{b + 3}} + \dfrac{8}{{c + 3}}.$
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $ N=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$ саны 2016-ның дәрежесі болатындай барлық $(a,b,c)$ бүтін сандар үшіктерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $5 \times 5$ кестесін дұрыс дейміз, егер кестенің әр торында әр түрлі төрт нақты санның біреуі орналасса және әрбір сан әрбір $ 2 \times 2$ кестешесінде дәл бір рет кездессе. Дұрыс кестенің барлық сандарының қосындысын толық қосынды деп атаймыз. Кез келген төрт сан үшін барлық мүмкін болатын дұрыс кесте құрылады және әрбір дұрыс кесте құрылғаннан кейін олардың толық қосындылары есептеледі. Әр түрлі толық қосындылардың мүмкін болатын ең көп санын анықтаңыздар.
комментарий/решение

---