19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровг. Статина, Румыния, 2016 год
Комментарий/решение:
Задача: Определить максимально возможное количество различных полных сумм для правильных таблиц размером $5 \times 5$, где каждая клетка содержит одно из четырёх попарно различных действительных чисел, и каждое число встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $2 \times 2$.
Решение:
Пусть даны четыре различных числа: $a$, $b$, $c$ и $d$. Строим всевозможные правильные таблицы $5 \times 5$, в которых каждое из этих чисел встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $2 \times 2$.
Полную сумму правильной таблицы определим как сумму всех чисел в таблице. Поскольку в таблице размером $5 \times 5$ всего $25$ клеток, а каждое число появляется несколько раз, то полная сумма таблицы будет иметь вид:
S = a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d
Поскольку все таблицы содержат одно и то же количество чисел $a$, $b$, $c$ и $d$, полная сумма таблицы для каждой перестановки чисел остаётся неизменной. Таким образом, ответ на задачу заключается в вычислении возможных различных полных сумм, которые могут возникнуть для всех перестановок чисел.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.