Математикадан жасөспірімдер арасындағы 19-шы Балкан олимпиадасы, Статина, Румыния, 2016 жыл

$5 \times 5$ кестесін дұрыс дейміз, егер кестенің әр торында әр түрлі төрт нақты санның біреуі орналасса және әрбір сан әрбір $ 2 \times 2$ кестешесінде дәл бір рет кездессе. Дұрыс кестенің барлық сандарының қосындысын толық қосынды деп атаймыз. Кез келген төрт сан үшін барлық мүмкін болатын дұрыс кесте құрылады және әрбір дұрыс кесте құрылғаннан кейін олардың толық қосындылары есептеледі. Әр түрлі толық қосындылардың мүмкін болатын ең көп санын анықтаңыздар.

Комментарий/решение

Задача: Определить максимально возможное количество различных полных сумм для правильных таблиц размером $5 \times 5$, где каждая клетка содержит одно из четырёх попарно различных действительных чисел, и каждое число встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $2 \times 2$.

Решение:

Пусть даны четыре различных числа: $a$, $b$, $c$ и $d$. Строим всевозможные правильные таблицы $5 \times 5$, в которых каждое из этих чисел встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $2 \times 2$.

Полную сумму правильной таблицы определим как сумму всех чисел в таблице. Поскольку в таблице размером $5 \times 5$ всего $25$ клеток, а каждое число появляется несколько раз, то полная сумма таблицы будет иметь вид:

S = a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d

Поскольку все таблицы содержат одно и то же количество чисел $a$, $b$, $c$ и $d$, полная сумма таблицы для каждой перестановки чисел остаётся неизменной. Таким образом, ответ на задачу заключается в вычислении возможных различных полных сумм, которые могут возникнуть для всех перестановок чисел.