19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
г. Статина, Румыния, 2016 год


Назовем таблицу $5 \times 5$ правильной, если каждая из ее клеток содержит одно из четырех попарно различных действительных чисел таким образом, что каждой число встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $ 2 \times 2$. Сумму всех чисел правильной таблицы назовем полной суммой. Для любых четырех чисел строятся всевозможные правильные таблицы, и после для каждой построенной правильной таблицы вычисляются их полные суммы. Определите максимально возможное количество различных полных сумм.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2025-02-02 21:44:29.0 #

Задача: Определить максимально возможное количество различных полных сумм для правильных таблиц размером $5 \times 5$, где каждая клетка содержит одно из четырёх попарно различных действительных чисел, и каждое число встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $2 \times 2$.

Решение:

Пусть даны четыре различных числа: $a$, $b$, $c$ и $d$. Строим всевозможные правильные таблицы $5 \times 5$, в которых каждое из этих чисел встречается ровно один раз в каждой подтаблице размером $2 \times 2$.

Полную сумму правильной таблицы определим как сумму всех чисел в таблице. Поскольку в таблице размером $5 \times 5$ всего $25$ клеток, а каждое число появляется несколько раз, то полная сумма таблицы будет иметь вид:

S = a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d

Поскольку все таблицы содержат одно и то же количество чисел $a$, $b$, $c$ и $d$, полная сумма таблицы для каждой перестановки чисел остаётся неизменной. Таким образом, ответ на задачу заключается в вычислении возможных различных полных сумм, которые могут возникнуть для всех перестановок чисел.