19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровг. Статина, Румыния, 2016 год

Найдите все тройки целых чисел $(a,b,c)$, для которых число $ N=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$ является степенью числа 2016.

Комментарий/решение

Ответ:{$a,b,c$}={$t+2,t+1,t$} для всех целых $t$.

Пусть, $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2=2016^k$. Тогда $(a-b)(b-c)(c-a)+4=2\times2016^k$. Сделаем замену: $a-b=-m$, $b-c=-n$. Тогда получим $mn(m+n)+4=2\times2016^k$.

Заметим, что правая часть делится на 7. Значит левая тоже.

$$mn(m+n)+4\equiv 0 (mod 7)\Longrightarrow 3mn(m+n)\equiv 2 (mod 7)\Longrightarrow (m+n)^3+m^3+n^3\equiv 2 (mod 7)$$

Заметим, что $\alpha^3\equiv 0, \pm1 (mod 7)$. Значит одно из чисел $m,n,m+n$ делится на 7. Но при этом $mn(m+n)$ делится на 7. Следовательно, $k=0$. Тогда $mn(m+n)=-2$, тогда $m=n=-1$. Значит {$a,b,c$}={$t+2,t+1,t$} для всех целых $t$

Спасибо помогли