Математикадан 33-ші Балкан олимпиадасы, Тирана, Албания, 2016 жыл

Есеп №1. Кез келген

$x$ нақты саны және

$n$ натурал саны үшін

$\left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right| < 2016$ теңсіздігі орындалатындай барлық

$f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ инъективті функцияларын табыңыздар.
Ескерту;

$f$ функциясын инъективті деп атаймыз, егер

$f(x_1)=f(x_2)$ тек және тек сонда ғана

$x_1=x_2$ болғанда.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$AB < CD$ болатын шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышы берілген. Төртбұрыштың диагоналдары

$F$ нүктесінде қиылысады, ал

$AD$ және

$BC$ түзулері

$E$ нүктесінде қиылысады.

$K$ және

$L$ нүктелері

$F$ нүктесінен сәйкесінше

$AD$ және

$BC$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табаны болсын.

$M$ ,

$S$ және

$T$ нүктелері арқылы сәйкесінше

$EF$ ,

$CF$ және

$DF$ кесінділерінің орталарын белгілейік.

$MKT$ және

$MLS$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер қиылысу нүктелерінің бірі

$CD$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Бас коэффициенті 1-ге тең және келесі қасиеттерге ие барлық бүтін коэффициентті

$f(x)$ функцияларын табыңыздар: кез келген

$p > N$ жай саны үшін

$f(p)$ мәні оң болып және

$2(f(p)!)+1$ саны

$p$ санына бөлінетіндей натурал

$N$ саны табылады.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Параллель түзулердің екі тобы арқылы жазықтық шексіз тор құратындай бірлік квадраттарға бөлінген. Қабырғалары сызық бойында жататын, периметрі 100-ге тең кез келген тіктөртбұрыштың ішінде бір түсті екі квадрат кездеспейтіндей, әрбір бірлік квадрат түрлі 1201 түстің біреуіне боялған. Қабырғалары сызық бойында жататын

$1 \times 1201$ немесе

$1201 \times 1$ өлшемді тіктөртбұрыштардың ешбірінің ішінде бір түсті екі бірлік квадрат болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты