33-я Балканская математическая олимпиадаАлбания, Тирана, 2016 год

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$, в котором $AB < CD$. Его диагонали четырехугольника пересекаются в точке $F$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $E$. Пусть $K$ и $L$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $F$ на прямые $AD$ и $BC$ соответственно. Обозначим через $M$, $S$ и $T$ середины отрезков $EF$, $CF$ и $DF$ соответственно. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников $MKT$ и $MLS$ лежит на прямой $CD$.

Комментарий/решение

Пусть $X$ середина $DC$ тогда у нас $\angle MLS=\angle MLF+\angle FLS=\angle LFM+\angle CFL=\angle CFE=180^o-\angle EFA$.С другой стороны мы имеем $\angle MSX=\angle MSA+\angle ASX=\angle BCA+\angle AFD=\angle BDA+\angle AFD=\angle CAE$.Также заметим что $\frac{MS}{EA}=\frac{1}{2}\cdot \frac{EC}{AE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{ED}{BE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{sin\measuredangle EBD}{sin\measuredangle BDA}=\frac{1}{2}\cdot \frac{sin\measuredangle DAF}{sin\measuredangle FDA}=\frac{1}{2}\cdot \frac{FD}{AF}=\frac{XS}{AF}$ откуда следует что треугольники $MSX$ и $EAF$ подобны следовательно $\angle EFA = \angle SXM$ и поэтому четырехугольник $MLSX$ вписанный. Ясно что $MKTX$ точно также вписанный что завершает доказательство!