33-я Балканская математическая олимпиада
Албания, Тирана, 2016 год
Задача №1. Найдите все такие инъективные функции f:R→R, что для любого действительного числа x и натурального n справедливо неравенство
|n∑i=1i(f(x+i+1)−f(f(x+i)))|<2016.
Замечание Функция f называется инъективной, если f(x1)=f(x2) тогда, и только тогда, когда x1=x2.
комментарий/решение(2)
Замечание Функция f называется инъективной, если f(x1)=f(x2) тогда, и только тогда, когда x1=x2.
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дан вписанный четырехугольник ABCD, в котором AB<CD. Его диагонали четырехугольника пересекаются в точке F, а прямые AD и BC — в точке E. Пусть K и L — основания перпендикуляров, опущенных из точки F на прямые AD и BC соответственно. Обозначим через M, S и T середины отрезков EF, CF и DF соответственно. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников MKT и MLS лежит на прямой CD.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все многочлены f(x) с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1, обладающие следующим свойством: существует такое натуральное число N такое, что для любого простого числа p>N, для которого значение f(p) положительно, число 2(f(p)!)+1 делится на p.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Плоскость разделена на единичные квадраты двумя семействами параллельных прямых, которые образуют бесконечную сетку. Каждый единичный квадрат покрашен в один из 1201 цвета так, что никакой прямоугольник с периметром 100, стороны которого лежат на линиях сетки, не содержит двух единичных квадратов одного цвета. Докажите, что никакой прямоугольник размера 1×1201 или 1201×1, стороны которого лежат на линиях сетки, не содержит двух единичных квадратов одного цвета.
комментарий/решение
комментарий/решение