33-я Балканская математическая олимпиада
Албания, Тирана, 2016 год

Задача №1. Найдите все такие инъективные функции $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, что для любого действительного числа $x$ и натурального $n$ справедливо неравенство $$ \left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right| < 2016.$$
Замечание Функция $f$ называется инъективной, если $f(x_1)=f(x_2)$ тогда, и только тогда, когда $x_1=x_2$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. Дан вписанный четырехугольник $ABCD$, в котором $AB < CD$. Его диагонали четырехугольника пересекаются в точке $F$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $E$. Пусть $K$ и $L$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $F$ на прямые $AD$ и $BC$ соответственно. Обозначим через $M$, $S$ и $T$ середины отрезков $EF$, $CF$ и $DF$ соответственно. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников $MKT$ и $MLS$ лежит на прямой $CD$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Найдите все многочлены $f(x)$ с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1, обладающие следующим свойством: существует такое натуральное число $N$ такое, что для любого простого числа $p > N$, для которого значение $f(p)$ положительно, число $2(f(p)!)+1$ делится на $p$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Плоскость разделена на единичные квадраты двумя семействами параллельных прямых, которые образуют бесконечную сетку. Каждый единичный квадрат покрашен в один из 1201 цвета так, что никакой прямоугольник с периметром 100, стороны которого лежат на линиях сетки, не содержит двух единичных квадратов одного цвета. Докажите, что никакой прямоугольник размера $1 \times 1201$ или $1201 \times 1$, стороны которого лежат на линиях сетки, не содержит двух единичных квадратов одного цвета.
комментарий/решение

---