Математикадан 33-ші Балкан олимпиадасы, Тирана, Албания, 2016 жыл
Бас коэффициенті 1-ге тең және келесі қасиеттерге ие барлық бүтін коэффициентті f(x) функцияларын табыңыздар: кез келген p>N жай саны үшін f(p) мәні оң болып және 2(f(p)!)+1 саны p санына бөлінетіндей натурал N саны табылады.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: f(x)≡x−3. Поскольку старший коэффициент 1, то существует целое положительное N, что для любого простого числа p>N, f(p)>0. Также степень многочлена f равна 1, в противном случае существует S, что для любого p>S,f(p)−p>0. Но тогда для любого простого p>max(N,K)
f(p)! делиться на p, что невозможно. Значит f(x)=x−C, для некоторого С неотрицательного. 2\cdot (p-c)!\cdot (p-c+1)...(p-1)=2\cdot (p-1)! \equiv -1\cdot (-1)^{c-1}\cdot (c-1)!\equiv -2 \pmod {p}. Откуда следует, что (c-1)!\equiv 2 \cdot (-1)^{c-1}. Поскольку c константа, и p может принимать сколь угодно большие значения, то с=3.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.