33-я Балканская математическая олимпиадаАлбания, Тирана, 2016 год

Найдите все многочлены $f(x)$ с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1, обладающие следующим свойством: существует такое натуральное число $N$ такое, что для любого простого числа $p > N$, для которого значение $f(p)$ положительно, число $2(f(p)!)+1$ делится на $p$.

Комментарий/решение

Ответ: $f(x)\equiv x-3 $. Поскольку старший коэффициент 1, то существует целое положительное $N$, что для любого простого числа $p>N$, $f(p)>0$. Также степень многочлена $f$ равна $1$, в противном случае существует $S$, что для любого $p>S, f(p)-p>0.$ Но тогда для любого простого $p>max(N,K)$

$f(p)!$ делиться на $p$, что невозможно. Значит $f(x)=x-C$, для некоторого $С$ неотрицательного. $2\cdot (p-c)!\cdot (p-c+1)...(p-1)=2\cdot (p-1)! \equiv -1\cdot (-1)^{c-1}\cdot (c-1)!\equiv -2 \pmod {p}$. Откуда следует, что $(c-1)!\equiv 2 \cdot (-1)^{c-1}$. Поскольку $c$ константа, и $p$ может принимать сколь угодно большие значения, то $с=3$.