Processing math: 79%

33-я Балканская математическая олимпиада
Албания, Тирана, 2016 год


Найдите все многочлены f(x) с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1, обладающие следующим свойством: существует такое натуральное число N такое, что для любого простого числа p>N, для которого значение f(p) положительно, число 2(f(p)!)+1 делится на p.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
6 года 7 месяца назад #

Ответ: f(x)x3. Поскольку старший коэффициент 1, то существует целое положительное N, что для любого простого числа p>N, f(p)>0. Также степень многочлена f равна 1, в противном случае существует S, что для любого p>S,f(p)p>0. Но тогда для любого простого p>max(N,K)

f(p)! делиться на p, что невозможно. Значит f(x)=xC, для некоторого С неотрицательного. 2\cdot (p-c)!\cdot (p-c+1)...(p-1)=2\cdot (p-1)! \equiv -1\cdot (-1)^{c-1}\cdot (c-1)!\equiv -2 \pmod {p}. Откуда следует, что (c-1)!\equiv 2 \cdot (-1)^{c-1}. Поскольку c константа, и p может принимать сколь угодно большие значения, то с=3.