Математикадан 33-ші Балкан олимпиадасы, Тирана, Албания, 2016 жыл

Бас коэффициенті 1-ге тең және келесі қасиеттерге ие барлық бүтін коэффициентті $f(x)$ функцияларын табыңыздар: кез келген $p > N$ жай саны үшін $f(p)$ мәні оң болып және $2(f(p)!)+1$ саны $p$ санына бөлінетіндей натурал $N$ саны табылады.

Комментарий/решение

Ответ: $f(x)\equiv x-3 $. Поскольку старший коэффициент 1, то существует целое положительное $N$, что для любого простого числа $p>N$, $f(p)>0$. Также степень многочлена $f$ равна $1$, в противном случае существует $S$, что для любого $p>S, f(p)-p>0.$ Но тогда для любого простого $p>max(N,K)$

$f(p)!$ делиться на $p$, что невозможно. Значит $f(x)=x-C$, для некоторого $С$ неотрицательного. $2\cdot (p-c)!\cdot (p-c+1)...(p-1)=2\cdot (p-1)! \equiv -1\cdot (-1)^{c-1}\cdot (c-1)!\equiv -2 \pmod {p}$. Откуда следует, что $(c-1)!\equiv 2 \cdot (-1)^{c-1}$. Поскольку $c$ константа, и $p$ может принимать сколь угодно большие значения, то $с=3$.