Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2015-2016 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Бір ауылда әрқашан да шындықты айтатын серілер мен әрқашан өтірік айтатын өтірікшілер тұрады. Саяхатшы ауылдың әр тұрғынына екі сұрақтан қойды: «Ауылда қанша сері бар?» және «Серілер саны мен өтірікшілер санының айырмасы қанша?». Ауылда кемінде бір серінің бар екенін саяхатшы біледі. Ол тұрғындардан алған жауаптар бойынша кімнің сері, ал кімнің өтірікші екенін дәл анықтай алады ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Эйлерии елінде 101 қала бар. Кез келген екі қала 99 авиакомпанияның қандай да бір біреуінің екі бағытты тұра рейсімен қосылған. Әр қаладан барлық 99 авиакомпанияның рейстері шығатыны белгілі. Егер үш қаланың кез келген екеуі қос-қостан бірдей авиякомпания рейсімен қосылса, онда оларды үшбұрыш деп атайық. Эйлерии елінде үшбұрыш саны 1-ден көп емес екенін дәлелдеңіздер. ( И. Богданов, Д. Карпов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышы берілген. $AB$ қабырғасының $A$-дан ары қарай созындысынан $D$, $BC$ қабырғасының $C$-дан ары қарай созындысынан $E$, ал $AC$ қабырғасының $C$-дан ары қарай созындысынан $F$ нүктелері $CF=AD$ және $AC+EF=DE$ болатындай алынған. $BDE$ бұрышын табыңыз. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Натурал $k$ саны мен $2n$-таңбалы натурал $a$ саны берілген. $a$ және $ka$ сандарын жеке ленталарға жазып, әр лентаны соңынан бастап екі таңбалы сандарға қиды ($00$, $01$, $\ldots$, $09$ сандары да екі таңбалы болып саналады; егер $ka$ санының цифрлар саны тақ болса, онда оның алдына $0$ цифрын жазады). $a$ санынан алған барлық екі таңбалы сандар қатаң түрде оңнан солға қарай кемиді ($a$-ның кіші разрядынан үлкен разрядына қарай), ал $ka$ саны үшін ол қатар қатаң түрде өседі. $k \geq n$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, О. Нечаева )
комментарий/решение(2)

---