қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $\left\{ \begin{matrix}
x{{y}^{2}}{{z}^{3}}+y{{z}^{2}}=\sqrt{2} \\
y{{z}^{2}}{{x}^{3}}+z{{x}^{2}}=2 \\
z{{x}^{2}}{{y}^{3}}+x{{y}^{2}}=2\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$ теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы — $R$, ал осы үшбұрыштың ауданы — $S$ болсын. Егер $S\ge {{R}^{2}}$ болса, онда $ABC$ үшбұрышының бұрыштары $30{}^\circ $-тан артық және $90{}^\circ $-тан аспайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез келген натурал $n$ және $k$ сандары үшін, $\left( k+1 \right)!\cdot \left( {{1}^{k}}+{{2}^{k}}+\ldots +{{n}^{k}} \right)$ көбейтіндісінің $n\left( n+1 \right)$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Дұрыс $n$-бұрышты призманың кез келген $n+2$ жақтың төбелеріндегі жазылған сандардың көбейтіндісі $-1$ болатындай, призманың әр төбесіне $1$ немесе $-1$ сандарын жаза алатындай, барлық натурал $n$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $\left( a,b \right)$ натурал жұбы келісімді деп аталады, егер $a+b+c$ және $abc$ сандары толық квадрат болатындай натурал $c$ саны табылса. Ондай болмаған жағдайда ол келісімсіз деп аталады.
А) Шексіз көп келісімсіз жұп бар екенін дәлелдеңіз.
Б) $\left( 2,n \right)$ — келісімді жұп болатындай, шексіз көп натурал $n$ саны бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
А) Шексіз көп келісімсіз жұп бар екенін дәлелдеңіз.
Б) $\left( 2,n \right)$ — келісімді жұп болатындай, шексіз көп натурал $n$ саны бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABCD$ дөңес төртбұрышында $\angle BAP=\angle DAQ$ болатындай, $BC$ және $DC$ қабырғаларынан сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері алынған. $ABP$ және $ADQ$ үшбұрыштарының ортоцентрлері арқылы өтетін түзу $AC$-ға перпендикуляр екені белгілі. $ABP$ және $ADQ$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)