Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$\left\{ \begin{matrix} x{{y}^{2}}{{z}^{3}}+y{{z}^{2}}=\sqrt{2} \\ y{{z}^{2}}{{x}^{3}}+z{{x}^{2}}=2 \\ z{{x}^{2}}{{y}^{3}}+x{{y}^{2}}=2\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$ теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы —

$R$ , ал осы үшбұрыштың ауданы —

$S$ болсын. Егер

$S\ge {{R}^{2}}$ болса, онда

$ABC$ үшбұрышының бұрыштары

$30{}^\circ$ -тан артық және

$90{}^\circ$ -тан аспайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез келген натурал

$n$ және

$k$ сандары үшін,

$\left( k+1 \right)!\cdot \left( {{1}^{k}}+{{2}^{k}}+\ldots +{{n}^{k}} \right)$ көбейтіндісінің

$n\left( n+1 \right)$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Дұрыс

$n$ -бұрышты призманың кез келген

$n+2$ жақтың төбелеріндегі жазылған сандардың көбейтіндісі

$-1$ болатындай, призманың әр төбесіне

$1$ немесе

$-1$ сандарын жаза алатындай, барлық натурал

$n$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$\left( a,b \right)$ натурал жұбы келісімді деп аталады, егер

$a+b+c$ және

$abc$ сандары толық квадрат болатындай натурал

$c$ саны табылса. Ондай болмаған жағдайда ол келісімсіз деп аталады.
А) Шексіз көп келісімсіз жұп бар екенін дәлелдеңіз.
Б)

$\left( 2,n \right)$ — келісімді жұп болатындай, шексіз көп натурал

$n$ саны бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$ABCD$ дөңес төртбұрышында

$\angle BAP=\angle DAQ$ болатындай,

$BC$ және

$DC$ қабырғаларынан сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелері алынған.

$ABP$ және

$ADQ$ үшбұрыштарының ортоцентрлері арқылы өтетін түзу

$AC$ -ға перпендикуляр екені белгілі.

$ABP$ және

$ADQ$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)