Областная олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс

Решите систему уравнений $\left\{ \begin{gathered} x{y^2}{z^3} + y{z^2} = \sqrt 2 , \\ y{z^2}{x^3} + z{x^2} = 2, \\ z{x^2}{y^3} + x{y^2} = 2\sqrt 2 , \\ \end{gathered} \right.$ в действительных числах.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Понятно, что $x,y,z \ne 0$. Также из первого уравнения $xy^2z^3+yz^2=yz^2(xyz+1)=\sqrt{2}$ следует, что число $a=xyz +1\ne 0$. Перепишем систему в виде \[a \cdot y{z^2} = \sqrt 2 , \quad a \cdot z{x^2} = 2, \quad a \cdot x{y^2} = 2\sqrt 2 .\] Тогда, из этих уравнении можно получить \[\left( {a \cdot y{z^2}} \right) \cdot \left( {a \cdot x{y^2}} \right) = \sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 = 4 = {\left( {a \cdot z{x^2}} \right)^2}.\] Откуда $x{z^2}{y^3} = {z^2}{x^4}$, что ведет к равенству $y=x$. Разделив второе уравнение уравнение системы на первое, получим $x=\sqrt{2}z$. Следовательно, $x=y=\sqrt{2}z$. Подставив эти значения в первое уравнение, получим \[\sqrt 2 z \cdot 2{z^2} \cdot {z^3} + \sqrt 2 z \cdot {z^2} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {2z^6} + {z^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow (2z^3-1)(z^3+1)=0.\] Из последнего уравнения следует, что $z_1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, $z_2=-1$. Следовательно, \[\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right) = \left( {\sqrt[6]{2},\sqrt[6]{2},\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right), \quad \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right) = \left( { - \sqrt 2 , - \sqrt 2 , - 1} \right).\] Проверкой убеждаемся, что найденные решения удовлетворяют системе уравнении.