Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып


{xy2z3+yz2=2yz2x3+zx2=2zx2y3+xy2=22 теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Понятно, что x,y,z0. Также из первого уравнения xy2z3+yz2=yz2(xyz+1)=2 следует, что число a=xyz+10. Перепишем систему в виде ayz2=2,azx2=2,axy2=22. Тогда, из этих уравнении можно получить (ayz2)(axy2)=222=4=(azx2)2. Откуда xz2y3=z2x4, что ведет к равенству y=x. Разделив второе уравнение уравнение системы на первое, получим x=2z. Следовательно, x=y=2z. Подставив эти значения в первое уравнение, получим 2z2z2z3+2zz2=22z6+z31=0(2z31)(z3+1)=0. Из последнего уравнения следует, что z1=132, z2=1. Следовательно, (x1,y1,z1)=(62,62,132),(x2,y2,z2)=(2,2,1). Проверкой убеждаемся, что найденные решения удовлетворяют системе уравнении.