қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Решите систему уравнений
$\left\{ \begin{gathered}
x{y^2}{z^3} + y{z^2} = \sqrt 2 , \\
y{z^2}{x^3} + z{x^2} = 2, \\
z{x^2}{y^3} + x{y^2} = 2\sqrt 2 , \\
\end{gathered} \right.$
в действительных числах.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, а $S$ — его площадь. Докажите, что если $S \geq R^2$, то все углы треугольника $ABC$ больше $30^\circ$ и не превосходят $90^\circ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что для любых натуральных чисел $n$ и $k$ произведение $\left( {k + 1} \right)! \cdot \left( {{1^k} + {2^k} + \ldots +{n^k}} \right)$
делится на $n{(n + 1)}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Найдите все натуральные числа $n$, для которых в каждой вершине правильной $n$-угольной призмы можно записать число $1$ или ${-1}$ так, чтобы для любой из $n+2$ граней призмы произведение чисел, записанных в ее вершинах, было равно ${-1}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Пара натуральных чисел $(a,b)$ называется $\textit{подходящей}$, если существует такое натуральное $c$, что числа $a+b+c$ и $abc$ являются полными квадратами. В противном случае она называется $\textit{неподходящей}$.
А) Докажите, что существует бесконечно много неподходящих пар.
Б) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $n$, что $(2,n)$ — подходящая пара.
комментарий/решение(1)
А) Докажите, что существует бесконечно много неподходящих пар.
Б) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $n$, что $(2,n)$ — подходящая пара.
комментарий/решение(1)
Задача №6. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ на сторонах $BC$ и $DC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $\angle BAP = \angle DAQ$. Известно, что прямая, преходящая через ортоцентры треугольников $ABP$ и $ADQ$, перпендикулярна $AC$. Докажите, что площади треугольников $ABP$ и $ADQ$ равны.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)