Областная олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Решите систему уравнений

$\left\{ \begin{gathered} x{y^2}{z^3} + y{z^2} = \sqrt 2 , \\ y{z^2}{x^3} + z{x^2} = 2, \\ z{x^2}{y^3} + x{y^2} = 2\sqrt 2 , \\ \end{gathered} \right.$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$R$ — радиус описанной около треугольника

$ABC$ окружности, а

$S$ — его площадь. Докажите, что если

$S \geq R^2$ , то все углы треугольника

$ABC$ больше

$30^\circ$ и не превосходят

$90^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что для любых натуральных чисел

$n$ и

$k$ произведение

$\left( {k + 1} \right)! \cdot \left( {{1^k} + {2^k} + \ldots +{n^k}} \right)$ делится на

$n{(n + 1)}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Найдите все натуральные числа

$n$ , для которых в каждой вершине правильной

$n$ -угольной призмы можно записать число

$1$ или

${-1}$ так, чтобы для любой из

$n+2$ граней призмы произведение чисел, записанных в ее вершинах, было равно

${-1}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. Пара натуральных чисел

$(a,b)$ называется

$\textit{подходящей}$ , если существует такое натуральное

$c$ , что числа

$a+b+c$ и

$abc$ являются полными квадратами. В противном случае она называется

$\textit{неподходящей}$ .
А) Докажите, что существует бесконечно много неподходящих пар.
Б) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных

$n$ , что

$(2,n)$ — подходящая пара.
комментарий/решение(1)

Задача №6. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ на сторонах

$BC$ и

$DC$ выбраны точки

$P$ и

$Q$ соответственно так, что

$\angle BAP = \angle DAQ$ . Известно, что прямая, преходящая через ортоцентры треугольников

$ABP$ и

$ADQ$ , перпендикулярна

$AC$ . Докажите, что площади треугольников

$ABP$ и

$ADQ$ равны.
комментарий/решение(2)