Областная олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ на сторонах $BC$ и $DC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $\angle BAP = \angle DAQ$. Известно, что прямая, преходящая через ортоцентры треугольников $ABP$ и $ADQ$, перпендикулярна $AC$. Докажите, что площади треугольников $ABP$ и $ADQ$ равны.

Комментарий/решение

Надо доказать то, что $AQ \cdot AD=AB \cdot AP$ (1) этот факт равносилен равенству площадей $S_{ABP}=S_{ADQ}$. Перед доказательством , введем обозначения , пусть высоты $\Delta ABP$ есть $BV,PN,AM$ так же $H$ точка пересечения высот, а высоты $\Delta AQD$ есть $AL,DE,QT$ , $G$ - точка пересечения высот , $X$ точка пересечения $HG$ с $AC$. Данное тождество, можно преобразовать как $AT \cdot AE=AN \cdot AV$ (2) из равенств углов. Из подобия треугольников $\Delta AED, \Delta AQT$ получим $AE \cdot AQ=AT \cdot AD$ (3), а из подобия треугольников $\Delta ANP,\Delta ABV$ , $AN \cdot AB=AV \cdot AP$ (4) .

После преобразований (1),(2),(3),(4) получим

$\dfrac{AT}{AE}=\dfrac{AN \cdot AV}{AE^2}$

$\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{AQ \cdot AD}{AP^2}$

$\dfrac{AQ}{AD}=\dfrac{AN \cdot AV}{AE^2}$

$\dfrac{AV}{AN}=\dfrac{AQ \cdot AD}{AP^2}$

$\dfrac{AQ \cdot AE^2}{AV}=AD \cdot AN$

$\dfrac{AV \cdot AP^2}{AQ}=AN \cdot AD$

$AQ \cdot AE=AV \cdot AP$

Заметим то что $AQ \cdot AE = AG \cdot AL$ из-за того что около четырехугольника $QEGL$ можно описать окружность , учитывая теорему о секущих получим выше написанное , так же и $AV \cdot AP=AH \cdot AM$.

Осталось доказать что $AG \cdot AL = AH \cdot AM$. Заметим так же что около четырехугольников $XCGL$ ; $HMCX$ - можно описать окружности $90^{o}+90^{o}=180^{o}$. Откуда по свойству секущих $AX \cdot AC = AG \cdot AL$ и $AX \cdot AC = AH \cdot AM$ , откуда следует что $AG \cdot AL = AH \cdot AM$ , значит площади треугольников действительно равны.

Решение. Обозначим $AA_1,BB_1,AA_2,DD_2$ высоты треугольников $ABP$ и $ADQ$ соответственно. Точки $H,A_1,C,X$ лежат на одной окружности $=>AH\cdot AA_1=AC\cdot AX$. Аналогично, $AG\cdot AA_2=AC\cdot AX,AH\cdot AA_1=AP\cdot AB_1,AG\cdot AA_2=AQ\cdot AD_2=> AP\cdot AB_1=AQ\cdot AD_2$.

$AB_1=AB \cos ⁡α,AD_2=AD \cos⁡ α =>AP\cdot AB=AQ\cdot AD=>S_{ABP}=S_{ADQ}$.