Processing math: 98%

Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып


ABCD дөңес төртбұрышында BAP=DAQ болатындай, BC және DC қабырғаларынан сәйкесінше P және Q нүктелері алынған. ABP және ADQ үшбұрыштарының ортоцентрлері арқылы өтетін түзу AC-ға перпендикуляр екені белгілі. ABP және ADQ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   3
9 года 3 месяца назад #

Надо доказать то, что AQAD=ABAP (1) этот факт равносилен равенству площадей SABP=SADQ. Перед доказательством , введем обозначения , пусть высоты ΔABP есть BV,PN,AM так же H точка пересечения высот, а высоты ΔAQD есть AL,DE,QT , G - точка пересечения высот , X точка пересечения HG с AC. Данное тождество, можно преобразовать как ATAE=ANAV (2) из равенств углов. Из подобия треугольников ΔAED,ΔAQT получим AEAQ=ATAD (3), а из подобия треугольников ΔANP,ΔABV , ANAB=AVAP (4) .

После преобразований (1),(2),(3),(4) получим

ATAE=ANAVAE2

ABAP=AQADAP2

AQAD=ANAVAE2

AVAN=AQADAP2

AQAE2AV=ADAN

AVAP2AQ=ANAD

AQAE=AVAP

Заметим то что AQAE=AGAL из-за того что около четырехугольника QEGL можно описать окружность , учитывая теорему о секущих получим выше написанное , так же и AVAP=AHAM.

Осталось доказать что AGAL=AHAM. Заметим так же что около четырехугольников XCGL ; HMCX - можно описать окружности 90o+90o=180o. Откуда по свойству секущих AXAC=AGAL и AXAC=AHAM , откуда следует что AGAL=AHAM , значит площади треугольников действительно равны.

пред. Правка 2   3
7 года 9 месяца назад #

Решение. Обозначим AA1,BB1,AA2,DD2 высоты треугольников ABP и ADQ соответственно. Точки H,A1,C,X лежат на одной окружности =>AHAA1=ACAX. Аналогично, AGAA2=ACAX,AHAA1=APAB1,AGAA2=AQAD2=>APAB1=AQAD2.

AB_1=AB \cos ⁡α,AD_2=AD \cos⁡ α =>AP\cdot AB=AQ\cdot AD=>S_{ABP}=S_{ADQ}.