Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Надо доказать то, что AQ⋅AD=AB⋅AP (1) этот факт равносилен равенству площадей SABP=SADQ. Перед доказательством , введем обозначения , пусть высоты ΔABP есть BV,PN,AM так же H точка пересечения высот, а высоты ΔAQD есть AL,DE,QT , G - точка пересечения высот , X точка пересечения HG с AC. Данное тождество, можно преобразовать как AT⋅AE=AN⋅AV (2) из равенств углов. Из подобия треугольников ΔAED,ΔAQT получим AE⋅AQ=AT⋅AD (3), а из подобия треугольников ΔANP,ΔABV , AN⋅AB=AV⋅AP (4) .
После преобразований (1),(2),(3),(4) получим
ATAE=AN⋅AVAE2
ABAP=AQ⋅ADAP2
AQAD=AN⋅AVAE2
AVAN=AQ⋅ADAP2
AQ⋅AE2AV=AD⋅AN
AV⋅AP2AQ=AN⋅AD
AQ⋅AE=AV⋅AP
Заметим то что AQ⋅AE=AG⋅AL из-за того что около четырехугольника QEGL можно описать окружность , учитывая теорему о секущих получим выше написанное , так же и AV⋅AP=AH⋅AM.
Осталось доказать что AG⋅AL=AH⋅AM. Заметим так же что около четырехугольников XCGL ; HMCX - можно описать окружности 90o+90o=180o. Откуда по свойству секущих AX⋅AC=AG⋅AL и AX⋅AC=AH⋅AM , откуда следует что AG⋅AL=AH⋅AM , значит площади треугольников действительно равны.
Решение. Обозначим AA1,BB1,AA2,DD2 высоты треугольников ABP и ADQ соответственно. Точки H,A1,C,X лежат на одной окружности =>AH⋅AA1=AC⋅AX. Аналогично, AG⋅AA2=AC⋅AX,AH⋅AA1=AP⋅AB1,AG⋅AA2=AQ⋅AD2=>AP⋅AB1=AQ⋅AD2.
AB_1=AB \cos α,AD_2=AD \cos α =>AP\cdot AB=AQ\cdot AD=>S_{ABP}=S_{ADQ}.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.