Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. $2{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}+2ac+3{{b}^{2}}+3{{d}^{2}}=6bd+11$ және $a\ge b\ge c\ge d$ орындалатындай, барлық бүтін $\left( a,b,c,d \right)$ төрттіктерін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $n$ қатардан және $m$ бағаннан тұратын тіктөртбұрышты кесте берілген. Кестеде бірнеше шаршыны белгілеп, әр қатарда дәл $k$ шаршы,ал әр бағанда дәл $l$ шаршы белгіленген болатындай, барлық натурал $\left( k,l \right)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №3. $ABC$ ұшбұрышында $AB$ және $AC$ қабырғалары тең. $A$ төбесінен жүргізілген түзу, $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет $Z$ нүктесінде, ал центрі $A$ нүктесі және радиусы $AB$ болатын шеңберді — $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. $BX$ және $CY$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $CX$, $BY$ және $PZ$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $\alpha$ ,$\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$ нақты сандары үшін $\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma +\sin \delta +\sin \varepsilon \ge 3$ теңсіздігі орындалады. $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +\cos \delta +\cos \varepsilon \le 4$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. $ABCD$ төртбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған, сонымен бірге $O$ нүктесі төртбұрыштың ішінде жатады және $\angle BAC=\angle ODA$. $AC$ және $BD$ диагональдері $E$ нүктесінде қиылысады. $E$ нүктесінен өтетін, $AD$-ға перпендикуляр түзу $BC$ түзуін $M$ нүктесінде қияды. $E$ нүктесінен өтетін, $BC$-ға перпендикуляр түзу $AD$ түзуін $P$ нүктесінде қияды. $MP$ түзуі $EO$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. $\left( a,b \right)$ натурал жұбы келісімді деп аталады, егер $a+b+c$ және $abc$ сандары толық квадрат болатындай натурал $c$ саны табылса. Ондай болмаған жағдайда ол келісімсіз деп аталады.
А) Шексіз көп келісімсіз жұп бар екенін дәлелдеңіз.
Б) $\left( 2,n \right)$ — келісімді жұп болатындай, шексіз көп натурал $n$ саны бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)