Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$2{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}+2ac+3{{b}^{2}}+3{{d}^{2}}=6bd+11$ және

$a\ge b\ge c\ge d$ орындалатындай, барлық бүтін

$\left( a,b,c,d \right)$ төрттіктерін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$n$ қатардан және

$m$ бағаннан тұратын тіктөртбұрышты кесте берілген. Кестеде бірнеше шаршыны белгілеп, әр қатарда дәл

$k$ шаршы,ал әр бағанда дәл

$l$ шаршы белгіленген болатындай, барлық натурал

$\left( k,l \right)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

$ABC$ ұшбұрышында

$AB$ және

$AC$ қабырғалары тең.

$A$ төбесінен жүргізілген түзу,

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет

$Z$ нүктесінде, ал центрі

$A$ нүктесі және радиусы

$AB$ болатын шеңберді —

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды.

$BX$ және

$CY$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$CX$ ,

$BY$ және

$PZ$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$\alpha$ ,

$\beta$ ,

$\gamma$ ,

$\delta$ ,

$\varepsilon$ нақты сандары үшін

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma +\sin \delta +\sin \varepsilon \ge 3$ теңсіздігі орындалады.

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +\cos \delta +\cos \varepsilon \le 4$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$ABCD$ төртбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған, сонымен бірге

$O$ нүктесі төртбұрыштың ішінде жатады және

$\angle BAC=\angle ODA$ .

$AC$ және

$BD$ диагональдері

$E$ нүктесінде қиылысады.

$E$ нүктесінен өтетін,

$AD$ -ға перпендикуляр түзу

$BC$ түзуін

$M$ нүктесінде қияды.

$E$ нүктесінен өтетін,

$BC$ -ға перпендикуляр түзу

$AD$ түзуін

$P$ нүктесінде қияды.

$MP$ түзуі

$EO$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$\left( a,b \right)$ натурал жұбы келісімді деп аталады, егер

$a+b+c$ және

$abc$ сандары толық квадрат болатындай натурал

$c$ саны табылса. Ондай болмаған жағдайда ол келісімсіз деп аталады.
А) Шексіз көп келісімсіз жұп бар екенін дәлелдеңіз.
Б)

$\left( 2,n \right)$ — келісімді жұп болатындай, шексіз көп натурал

$n$ саны бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)