Processing math: 82%

Областная олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс


Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O, причем точка O лежит внутри четырехугольника и BAC=ODA. Диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через E перпендикулярно AD, пересекает прямую BC в точке M. Прямая, проходящая через E перпендикулярно BC, пересекает прямую AD в точке P. Докажите, что прямая MP проходит через середину EO.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   1
9 года 3 месяца назад #

Положим что угол EDA=x, BAC=a , тогда угол ABD=AOD2=90oa , то есть BEA=90o , откуда треугольники ΔBEC;ΔBEA;ΔAEC;ΔDEC - прямоугольные .

Заметим так же , что PE=PD=AP и ME=MC=BM из-за того что прямые проходящие через точку E перпендикулярны , значит PM средняя линия четырехугольника . Пусть EO пересекает стороны AB;CD в точках L;Q , тогда OQ=EL потому что OQ=R2(Rcosx)2=Rsinx ; EL=AL=AB2=Rsinx ,докажем что E;O;L;Q лежат на одной прямой , DOQ=90ox , значит EOA=2a(90ox) , тогда как угол AOL=a , то есть сумма углов в треугольнике ΔEGO , G точка пересечения AO;ED должна равняться 180o (если точки действительно лежат на одной прямой) , что верно так как EOA+AOL+AOD=180o (подставляя выше описанные значения) , значит средняя линия делит и EO пополам .

пред. Правка 2   -1
7 года 9 месяца назад #

Решение. Пусть ∠BAC=∠ODA=x=>\overset\frown{AD} =180°-2x=>∠ABD=90°-x=> диагонали AC⊥BD. \triangle AED и \triangle BEC прямоугольные => "севысоты" EP и EM являются медианами. Значит, OM⊥BC,OM∥PE. Аналогично, OP∥ME=>OPEM – параллелограмм, откуда следует требуемое.