Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Положим что угол ∠EDA=x, ∠BAC=a , тогда угол ∠ABD=∠AOD2=90o−a , то есть ∠BEA=90o , откуда треугольники ΔBEC;ΔBEA;ΔAEC;ΔDEC - прямоугольные .
Заметим так же , что PE=PD=AP и ME=MC=BM из-за того что прямые проходящие через точку E перпендикулярны , значит PM средняя линия четырехугольника . Пусть EO пересекает стороны AB;CD в точках L;Q , тогда OQ=EL потому что OQ=√R2−(R⋅cosx)2=R⋅sinx ; EL=AL=AB2=R⋅sinx ,докажем что E;O;L;Q лежат на одной прямой , ∠DOQ=90o−x , значит ∠EOA=2a−(90o−x) , тогда как угол ∠AOL=a , то есть сумма углов в треугольнике ΔEGO , G точка пересечения AO;ED должна равняться 180o (если точки действительно лежат на одной прямой) , что верно так как ∠EOA+∠AOL+∠AOD=180o (подставляя выше описанные значения) , значит средняя линия делит и EO пополам .
Решение. Пусть ∠BAC=∠ODA=x=>\overset\frown{AD} =180°-2x=>∠ABD=90°-x=> диагонали AC⊥BD. \triangle AED и \triangle BEC прямоугольные => "севысоты" EP и EM являются медианами. Значит, OM⊥BC,OM∥PE. Аналогично, OP∥ME=>OPEM – параллелограмм, откуда следует требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.