Областная олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все такие четверки целых чисел $\left(a,b,c,d\right)$, что $2a^2+2c^2+2ac+3b^2+3d^2=6bd+11$ и $a\geq b\geq c \geq d$.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Дана прямоугольная таблица, в которой $n$ строк и $m$ столбцов. Найдите все такие пары натуральных чисел $(k,l)$, что в таблице можно отметить несколько клеток таким образом, чтобы в каждой строке было отмечено ровно $k$ клеток, а в каждом столбце — ровно $l$ клеток.
комментарий/решение(4)

Задача №3. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны. Прямая, проходящая через вершину $A$, пересекает описанную около $ABC$ окружность вторично в точке $Z$, а окружность с центром $A$ и радиусом $AB$ — в точках $X$ и $Y$. Прямые $BX$ и $CY$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$ и $PZ$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Для вещественных чисел $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$ справедливо неравенство $\sin \alpha + \sin \beta + \sin\gamma + \sin\delta + \sin\varepsilon \geqslant 3.$ Докажите, что $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos \delta + \cos \varepsilon \leqslant 4.$
комментарий/решение(3)

Задача №5. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$, причем точка $O$ лежит внутри четырехугольника и $\angle BAC = \angle ODA$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через $E$ перпендикулярно $AD$, пересекает прямую $BC$ в точке $M$. Прямая, проходящая через $E$ перпендикулярно $BC$, пересекает прямую $AD$ в точке $P$. Докажите, что прямая $MP$ проходит через середину $EO$.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Пара натуральных чисел $(a,b)$ называется $\textit{подходящей}$, если существует такое натуральное $c$, что числа $a+b+c$ и $abc$ являются полными квадратами. В противном случае она называется $\textit{неподходящей}$.
А) Докажите, что существует бесконечно много неподходящих пар.
Б) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $n$, что $(2,n)$ — подходящая пара.
комментарий/решение(1)