Областная олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все такие четверки целых чисел

$\left(a,b,c,d\right)$ , что

$2a^2+2c^2+2ac+3b^2+3d^2=6bd+11$ и

$a\geq b\geq c \geq d$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Дана прямоугольная таблица, в которой

$n$ строк и

$m$ столбцов. Найдите все такие пары натуральных чисел

$(k,l)$ , что в таблице можно отметить несколько клеток таким образом, чтобы в каждой строке было отмечено ровно

$k$ клеток, а в каждом столбце — ровно

$l$ клеток.
комментарий/решение(4)

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ стороны

$AB$ и

$AC$ равны. Прямая, проходящая через вершину

$A$ , пересекает описанную около

$ABC$ окружность вторично в точке

$Z$ , а окружность с центром

$A$ и радиусом

$AB$ — в точках

$X$ и

$Y$ . Прямые

$BX$ и

$CY$ пересекаются в точке

$P$ . Докажите, что прямые

$CX$ ,

$BY$ и

$PZ$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Для вещественных чисел

$\alpha$ ,

$\beta$ ,

$\gamma$ ,

$\delta$ ,

$\varepsilon$ справедливо неравенство

$\sin \alpha + \sin \beta + \sin\gamma + \sin\delta + \sin\varepsilon \geqslant 3.$ Докажите, что

$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos \delta + \cos \varepsilon \leqslant 4.$
комментарий/решение(3)

Задача №5. Четырехугольник

$ABCD$ вписан в окружность с центром

$O$ , причем точка

$O$ лежит внутри четырехугольника и

$\angle BAC = \angle ODA$ . Диагонали

$AC$ и

$BD$ пересекаются в точке

$E$ . Прямая, проходящая через

$E$ перпендикулярно

$AD$ , пересекает прямую

$BC$ в точке

$M$ . Прямая, проходящая через

$E$ перпендикулярно

$BC$ , пересекает прямую

$AD$ в точке

$P$ . Докажите, что прямая

$MP$ проходит через середину

$EO$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. Пара натуральных чисел

$(a,b)$ называется

$\textit{подходящей}$ , если существует такое натуральное

$c$ , что числа

$a+b+c$ и

$abc$ являются полными квадратами. В противном случае она называется

$\textit{неподходящей}$ .
А) Докажите, что существует бесконечно много неподходящих пар.
Б) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных

$n$ , что

$(2,n)$ — подходящая пара.
комментарий/решение(1)