Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Натурал сандыарнайы деп атаймыз, егер оның ондық жазылуындағы әр қатар тұрған екі цифрасы 17-ге немесе 43-ке бөлінетін екі таңбалы санды құрса. Мысалы, 8685 саны арнайы, ал 8684 саны арнайы емес. 2016-таңбалы арнайы сандардың санын табыңыз.
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы —

$R$ , ал осы үшбұрыштың ауданы —

$S$ болсын. Егер

$S\ge {{R}^{2}}$ болса, онда

$ABC$ үшбұрышы дөңесбұрышты болмайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Шеңбердің бойында

$2n+1$ әр түрлі нүкте белгіленген, және олардың ішінде

$n$ нүкте көк түске,

$n$ нүкте қызыл түске, ал бір нүкте қара түске боялған. Ешқайсысы көк және қызыл нүктені қоспайтын және әр нүкте көп дегенде бір кесіндінің соңы болатындай, берілген нүктелерден

$n$ өзара қиылыспайтын кесінді жүргізуге болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$AK$ және

$BL$ биссектрисалары жүргізілген.

$KL$ —

$\angle AKC$ бұрышының биссектрисасы екені белгілі.

$BAC$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$a!+b!+c!={{2}^{d}}$ шартын қанағаттандыратын барлық

$\left( a,b,c,d \right)$ натурал төрттіктерін табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №6. Кез келген теріс емес нақты

$x,y,z$ сандары үшін

$\sqrt{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}}+\sqrt{4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}}\ge {{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)}^{2}}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)