Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс


В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BL. Известно, что KL — биссектриса угла AKC. Найдите величину угла BAC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   5 | проверено модератором
9 года 2 месяца назад #

Положим что AB=a, BC=b, AC=c, тогда из условия выполняется соотношения , по теореме о биссектрисе получим

ab=ALCL=AKCK , так же ca=CKBK .

После преобразований, получаем AK=aca+c(1).

BAC=2y , используя теорему косинусов b2=a2+c22accos2y , воспользуемся так же формулой биссектрисы через угол и стороны AK=2accosya+c (2)

Через косинус половинного угла , приравнивая (1) и (2) получим что

cos(arccosa2b2+c22ac2)=12 .

Откуда a2+c2+ac=b2 , сравнивания ее с теореме косинусов b2=a2+c22accos2y ,

ac(1+2cos2y)=0 =>ac>0

BAC=2π3=120o .

пред. Правка 3   5 | проверено модератором
8 года 11 месяца назад #

Пусть M это произвольная точка на луче BA за точкой A. Так как L - это точка пересечения внешней биссектрисы AKB и внутренней биссектрисы ABK, то L это центр вне вписанной окружности ABK, значит AL это биссектриса MAK, значит MAC=CAK=KAB, то есть CAB=2KAB=21803=120.

  11
2 года 4 месяца назад #

известно что внешние биссектрисы двух углов и внутренняя биссектриса третьего угла треугольника пересекаются в одной точке тогда из условия задачи следует что для треугольника ABK прямая AL является биссектрисой внешнего угла A . тогда развернутый угол A состоит из трех равных частей откуда каждая часть =60 тогда BAC=120