Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $BL$. Известно, что $KL$ — биссектриса угла $AKC$. Найдите величину угла $BAC$.

Комментарий/решение

Положим что $AB=a, \ BC=b, \ AC=c$, тогда из условия выполняется соотношения , по теореме о биссектрисе получим

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{AL}{CL}=\dfrac{AK}{CK}$ , так же $\dfrac{c}{a}=\dfrac{CK}{BK}$ .

После преобразований, получаем $AK=\dfrac{a \cdot c}{a+c}$(1).

$\angle BAC=2y$ , используя теорему косинусов $b^2=a^2+c^2-2 \cdot ac \cdot cos\angle 2y$ , воспользуемся так же формулой биссектрисы через угол и стороны $AK=\frac{2ac \cdot cos \angle y}{a+c}$ (2)

Через косинус половинного угла , приравнивая (1) и (2) получим что

$cos(arccos\dfrac{\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2 \cdot ac}}{2}) = \dfrac{1}{2}$ .

Откуда $a^2+c^2+ac = b^2$ , сравнивания ее с теореме косинусов $b^2=a^2+c^2-2ac \cdot cos\angle 2y$ ,

$ac(1+2 \cdot cos \angle 2y)=0$ =>$ac>0$

$\angle BAC=\frac{2\pi}{3}=120^{o}$ .

Пусть $M$ это произвольная точка на луче $BA$ за точкой $A$. Так как $L$ - это точка пересечения внешней биссектрисы $\angle AKB$ и внутренней биссектрисы $\angle ABK$, то $L$ это центр вне вписанной окружности $\triangle ABK$, значит $AL$ это биссектриса $\angle MAK$, значит $\angle MAC= \angle CAK= \angle KAB$, то есть $\angle CAB= 2 \cdot \angle KAB= 2 \cdot \frac{180}{3} = 120$.

известно что внешние биссектрисы двух углов и внутренняя биссектриса третьего угла треугольника пересекаются в одной точке тогда из условия задачи следует что для треугольника $ABK$ прямая $AL$ является биссектрисой внешнего угла $A$ . тогда развернутый угол $A$ состоит из трех равных частей откуда каждая часть $=60$ тогда $\angle BAC = 120$