Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Положим что AB=a, BC=b, AC=c, тогда из условия выполняется соотношения , по теореме о биссектрисе получим
ab=ALCL=AKCK , так же ca=CKBK .
После преобразований, получаем AK=a⋅ca+c(1).
∠BAC=2y , используя теорему косинусов b2=a2+c2−2⋅ac⋅cos∠2y , воспользуемся так же формулой биссектрисы через угол и стороны AK=2ac⋅cos∠ya+c (2)
Через косинус половинного угла , приравнивая (1) и (2) получим что
cos(arccosa2−b2+c22⋅ac2)=12 .
Откуда a2+c2+ac=b2 , сравнивания ее с теореме косинусов b2=a2+c2−2ac⋅cos∠2y ,
ac(1+2⋅cos∠2y)=0 =>ac>0
∠BAC=2π3=120o .
Пусть M это произвольная точка на луче BA за точкой A. Так как L - это точка пересечения внешней биссектрисы ∠AKB и внутренней биссектрисы ∠ABK, то L это центр вне вписанной окружности △ABK, значит AL это биссектриса ∠MAK, значит ∠MAC=∠CAK=∠KAB, то есть ∠CAB=2⋅∠KAB=2⋅1803=120.
известно что внешние биссектрисы двух углов и внутренняя биссектриса третьего угла треугольника пересекаются в одной точке тогда из условия задачи следует что для треугольника ABK прямая AL является биссектрисой внешнего угла A . тогда развернутый угол A состоит из трех равных частей откуда каждая часть =60 тогда ∠BAC=120
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.