Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Назовем натуральное число

$\textit{специальным}$ , если в его десятичной записи каждая пара последовательных цифр образует двузначное число, делящееся на 17 или на 43. Например, число 8685 является специальным, а число 8684 — нет. Найдите количество 2016-значных специальных чисел.
комментарий/решение(5)

Задача №2. Пусть

$R$ — радиус описанной около треугольника

$ABC$ окружности, а

$S$ — его площадь. Докажите, что если

$S \geq R^2$ , то треугольник

$ABC$ не может быть тупоугольным.
комментарий/решение(3)

Задача №3. На окружности отмечены

${2n+1}$ различных точек, причем

$n$ из них окрашены в синий цвет,

$n$ точек — в красный, а одна — в черный. Докажите, что можно провести

$n$ попарно непересекающихся отрезков с концами в этих точках так, чтобы ни одна точка не являлась концом более чем одного отрезка и чтобы никакой отрезок не соединял синюю и красную точки.
комментарий/решение(2)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ проведены биссектрисы

$AK$ и

$BL$ . Известно, что

$KL$ — биссектриса угла

$AKC$ . Найдите величину угла

$BAC$ .
комментарий/решение(3)

Задача №5. Найдите все четверки натуральных чисел

$\left(a,b,c,d\right)$ , удовлетворяющие соотношению

$a!+b!+c!=2^d$ .
комментарий/решение(4)

Задача №6. Докажите, что для любых неотрицательных действительных чисел

$x$ ,

$y$ и

$z$ справедливо неравенство

$\sqrt {2{x^2} + 3{y^2} + 4{z^2}} + \sqrt {3{x^2} + 4{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {4{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \ge$

${\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2}$
комментарий/решение(3)