Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ таковы, что

$\dfrac{a}{b}=2, \dfrac{b}{c}=5$ . Найдите значение выражения

$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ac}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Учитель физкультуры хочет выстроить в шеренгу (линию) 60 школьников – 29 мальчиков и 31 девочку так, чтобы ни один из школьников (девочка или мальчик) не стоял между двумя девочками. Удастся ли ему это?
комментарий/решение(2)

Задача №3.

$A$ ,

$B$ ,

$C$ — три различные нечетные цифры. Известно, что

$s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ — трёхзначное число. Найдите

$s$ . Через

$\overline{abc}$ обозначается число, десятичная запись которого состоит из цифр

$a, b, c$ в указанном порядке.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Решите уравнение

$\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{7}{{4x^2 - 1}} = 1.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все простые числа вида

$2^{2^{\dots2}}+9$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Вне квадрата

$ABCD$ взяли такую точку

$P$ , что

$AP=AB$ и

$\angle ADP=10^\circ$ . Какие возможные значения может иметь величина угла

$\angle APB$ ?
комментарий/решение(1)