Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Кез келген

$x\in \mathbb{R}$ (мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны) үшін

$f (g(x))=g(f (x))=-x$ орындалатындай

$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функциялары берілген:
а)

$f$ ,

$g$ функциялары тақ екенін дәлелдеңіздер.
б)

$f \ne g$ болатындай екі функцияға мысал келтіріңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ бұрышы доғал болатынай

$ABCD$ параллелограмы берілген.

$AD$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберін екінші рет

$E$ нүктесінде қияды.

$CD$ түзуі

$\omega$ шеңберін екінші рет

$F$ нүктесінде қияды.

$DEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$\omega$ шеңберінде жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Бірнеше қатар тұрған

$n$ натурал санның көбейтіндісі бірнеше қатар тұрған

${n+100}$ натурал санның көбейтіндісіне тең болатындай

$n > 1$ натурал саны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4.

$0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ үшін

$x\cos x\leq \dfrac{\pi^2}{16}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$8^m$ санының ондық жазбасындағы цифрларының қосындысы 8-ге тең болатындай

$m$ натурал саны берілген.

$8^m$ санының соңғы цифры 6-ға тең болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$A=\{ x \in \mathbb{R}|3^x=x+2\}$ және

$B=\{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x+2)+\log _2 (3^x-x)=3^x-1\}$ екі жиыны берілген, мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны.

$A \subset B$ және

$B$ жиыны рационал да иррационал да сандардан тұратынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение