қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Кез келген $x\in \mathbb{R}$ (мұндағы $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны) үшін $f (g(x))=g(f (x))=-x$ орындалатындай $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функциялары берілген:
а) $f$, $g$ функциялары тақ екенін дәлелдеңіздер.
б) $f \ne g$ болатындай екі функцияға мысал келтіріңіздер.
комментарий/решение(1)
а) $f$, $g$ функциялары тақ екенін дәлелдеңіздер.
б) $f \ne g$ болатындай екі функцияға мысал келтіріңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ бұрышы доғал болатынай $ABCD$ параллелограмы берілген. $AD$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $E$ нүктесінде қияды. $CD$ түзуі $\omega$ шеңберін екінші рет $F$ нүктесінде қияды. $DEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $\omega$ шеңберінде жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Бірнеше қатар тұрған $n$ натурал санның көбейтіндісі бірнеше қатар тұрған ${n+100}$ натурал санның көбейтіндісіне тең болатындай $n > 1$ натурал саны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ үшін $x\cos x\leq \dfrac{\pi^2}{16}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $8^m$ санының ондық жазбасындағы цифрларының қосындысы 8-ге тең болатындай $m$ натурал саны берілген. $8^m$ санының соңғы цифры 6-ға тең болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $A=\{ x \in \mathbb{R}|3^x=x+2\}$ және
$B=\{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x+2)+\log _2 (3^x-x)=3^x-1\}$ екі жиыны берілген, мұндағы $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. $A \subset B$ және $B$ жиыны рационал да иррационал да сандардан тұратынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение