Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 10 класс

В параллелограмме $ABCD$ угол $\angle B$ — тупой. Прямая $АD$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $E\ne A$. Прямая $CD$ пересекает окружность $\omega$ в точке $F\ne C$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $DEF$ лежит на $\omega$.

Комментарий/решение

Треугольники $\Delta ABC=\Delta ABD; \Delta DEF$ подобны , откуда $\dfrac{DE}{CD}=k,\dfrac{FE}{AC}=k$ и $R_{DEF}=k \cdot R_{ABC}$ , положим что $O$ центр окружности $\Delta DEF$ на нужной ему окружности $\Delta ABC$.

Тогда с одной стороны $FE^2=2R^2-2R^2cos(2(\pi-2(\pi- \angle B)))$ с другой $FE^2=k^2(2R^2-2R^2cos(2(\pi- \angle B)))$ получим $k=-2cos \angle B$ , что верно так как $\dfrac{DE}{CD} = \dfrac{sin(\pi-2(\pi - \angle B))}{sin \angle B }=-2cos \angle B$.