Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 10 класс

Задача №1. Пусть

$f, ~g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функции такие, что

$f (g(x)) = g(f (x)) = -x$ для любого

$x\in \mathbb{R}$ (здесь

$\mathbb{R}$ — множество вещественных чисел):
1) Докажите, что

$f$ ,

$g$ — нечетные функции;
2) Приведите пример таких двух функции

$f \ne g$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. В параллелограмме

$ABCD$ угол

$\angle B$ — тупой. Прямая

$АD$ пересекает окружность

$\omega$ , описанную около треугольника

$ABC$ , в точке

$E\ne A$ . Прямая

$CD$ пересекает окружность

$\omega$ в точке

$F\ne C$ . Докажите, что центр описанной окружности треугольника

$DEF$ лежит на

$\omega$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что найдется такое натуральное число

$n > 1$ , что произведение некоторых

$n$ последовательных натуральных чисел равно произведению некоторых

$n + 100$ последовательных натуральных чисел.
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что

$x\cos x\leq \frac{\pi^2}{16}$ при

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Натуральное число

$m$ таково, что сумма цифр в десятичной записи числа

$8^m$ равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа

$8^m$ быть равной 6?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Даны два множества

$A = \{ x \in \mathbb{R}|3^x = x + 2\}$ и

$B = \{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x + 2) + \log _2 (3^x - x) = 3^x - 1\}$ , где

$\mathbb{R}$ — множество вещественных чисел. Докажите, что

$A \subset B$ и что множество

$B$ содержит как рациональные, так и иррациональные числа.
комментарий/решение