Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Пусть $f, ~g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функции такие, что $f (g(x)) = g(f (x)) = -x$ для любого $x\in \mathbb{R}$ (здесь $\mathbb{R}$ — множество вещественных чисел):
1) Докажите, что $f$, $g$ — нечетные функции;
2) Приведите пример таких двух функции $f \ne g$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В параллелограмме $ABCD$ угол $\angle B$ — тупой. Прямая $АD$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $E\ne A$. Прямая $CD$ пересекает окружность $\omega$ в точке $F\ne C$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $DEF$ лежит на $\omega$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Докажите, что найдется такое натуральное число $n > 1$, что произведение некоторых $n$ последовательных натуральных чисел равно произведению некоторых $n + 100$ последовательных натуральных чисел.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Докажите, что $x\cos x\leq \frac{\pi^2}{16}$ при $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Натуральное число $m$ таково, что сумма цифр в десятичной записи числа $8^m$ равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа $8^m$ быть равной 6?
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Даны два множества $A = \{ x \in \mathbb{R}|3^x = x + 2\}$ и $B = \{ x \in \mathbb{R}|\log _3 (x + 2) + \log _2 (3^x - x) = 3^x - 1\}$, где $\mathbb{R}$ — множество вещественных чисел. Докажите, что $A \subset B$ и что множество $B$ содержит как рациональные, так и иррациональные числа.
комментарий/решение

---