Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 10 класс
Докажите, что $x\cos x\leq \frac{\pi^2}{16}$ при $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Теңсіздіктің сол жағын келесідей жазамыз: $xcosx=xsin(\frac{\pi}{2}-x).$
$sinx\leq x $ тура теңсіздігін пайдалансақ: $xsin(\frac{\pi}{2}-x)\leq x(\frac{\pi}{2}-x).$
Коши теңсіздігінен: $ x(\frac{\pi}{2}-x)\leq (\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2})^2=(\frac{\pi }{4})^2 =\frac{\pi^2}{16}.$ Cонда $ xcosx\leq \frac{\pi^2}{16}$ болады. $x=\frac{\pi}{2}-x, 2x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{4}$ болғанда теңдік орындалуы керек.
Бірақ $\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\neq \frac{\pi^2}{16}.$ Онда $xcosx\ <\frac{\pi^2}{16}$ болады.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.