Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 10 класс

Докажите, что $x\cos x\leq \frac{\pi^2}{16}$ при $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.

Комментарий/решение

Теңсіздіктің сол жағын келесідей жазамыз: $xcosx=xsin(\frac{\pi}{2}-x).$

$sinx\leq x$ тура теңсіздігін пайдалансақ: $xsin(\frac{\pi}{2}-x)\leq x(\frac{\pi}{2}-x).$

Коши теңсіздігінен: $x(\frac{\pi}{2}-x)\leq (\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2})^2=(\frac{\pi }{4})^2 =\frac{\pi^2}{16}.$ Cонда $xcosx\leq \frac{\pi^2}{16}$ болады. $x=\frac{\pi}{2}-x, 2x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{4}$ болғанда теңдік орындалуы керек.

Бірақ $\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\neq \frac{\pi^2}{16}.$ Онда $xcosx\ <\frac{\pi^2}{16}$ болады.