Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл

Есеп №1.

$188188\ldots188$ (188 саны 101 рет жазылған) саны берілген. Осы санның кейбір цифралары өшіріліп тасталынды. 7-ге қалдықсыз бөлінетін, қандай ең үлкен сан пайда болуы мүмкін?
комментарий/решение(7)

Есеп №2. Кез келген шеңбер ішінде барлық 4 түсті нүктелер кездесетіндей, жазықтықты 4 түске бояу мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Ромбыға іштей сызылған шеңбер, ромбының

$AB$ және

$BC$ қабырғаларымен, сәйкесінше

$E'$ және

$F'$ нүктелерінде жанасады. Жанама түзу

$l$ ,

$AB$ және

$BC$ қабырғаларын

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$AE\cdot CF$ көбейтіндісі

$l$ жанамасының таңдалымына тәуелсіз екендігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Көбейтіндісі 1-ге тең болатын оң нақты

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{1}{b(b+1)}+\dfrac{1}{c(c+1)}\ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(8)

Есеп №5.

${{p}^{2}}-1$ ,

$q$ -ге бөлінетіндей және

${{q}^{2}}-1$ ,

$p$ -ге бөлінетіндей, 3-тен үлкен,

$p$ және

$q$ жай сандары табылады ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін

$O$ деп белгілейік.

$OAB$ ,

$OBC$ ,

$OCA$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері дұрыс үшбұрыштың төбелерінде жатыр.

$ABC$ дұрыс үшбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)

Есеп №7. Жазықтықта орналасқан бес дұрыс бесбұрыштардың әрбір екеуінде ортақ нүкте бар. Осы бесбұрыштардын арасында қандай да бір үшеуінде ортақ нүкте бар болуы мүмкін бе?
комментарий/решение

Есеп №8. Мемлекетте әрбір қаладан басқа 3 қалаға жол салынған 2000 қала бар. Тақ жол саны бар, тұйық маршрут қалмайтындай 1000 жолды жабуға болатындығын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)