қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл
Есеп №1. $188188\ldots188$ (188 саны 101 рет жазылған) саны берілген. Осы санның кейбір цифралары өшіріліп тасталынды. 7-ге қалдықсыз бөлінетін, қандай ең үлкен сан пайда болуы мүмкін?
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №2. Кез келген шеңбер ішінде барлық 4 түсті нүктелер кездесетіндей, жазықтықты 4 түске бояу мүмкін бе?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Ромбыға іштей сызылған шеңбер, ромбының $AB$ және $BC$ қабырғаларымен, сәйкесінше $E'$ және $F'$ нүктелерінде жанасады. Жанама түзу $l$, $AB$ және $BC$ қабырғаларын $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AE\cdot CF$ көбейтіндісі $l$ жанамасының таңдалымына тәуелсіз екендігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Көбейтіндісі 1-ге тең болатын оң нақты $a$, $b$ және $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{1}{b(b+1)}+\dfrac{1}{c(c+1)}\ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №5. ${{p}^{2}}-1$, $q$-ге бөлінетіндей және ${{q}^{2}}-1$, $p$-ге бөлінетіндей, 3-тен үлкен, $p$ және $q$ жай сандары табылады ма?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін $O$ деп белгілейік. $OAB$, $OBC$, $OCA$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері дұрыс үшбұрыштың төбелерінде жатыр. $ABC$ дұрыс үшбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №7. Жазықтықта орналасқан бес дұрыс бесбұрыштардың әрбір екеуінде ортақ нүкте бар. Осы бесбұрыштардын арасында қандай да бір үшеуінде ортақ нүкте бар болуы мүмкін бе?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Мемлекетте әрбір қаладан басқа 3 қалаға жол салынған 2000 қала бар. Тақ жол саны бар, тұйық маршрут қалмайтындай 1000 жолды жабуға болатындығын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)