Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2000 год
Можно ли раскрасить плоскость в 4 цвета так, чтобы внутри любого
круга были точки всех четырех цветов?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Существует разбиение плоскости $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ на $4$ подмножества такое, что любой круг на плоскости содержит внутренние точки из каждого подмножества:
$A=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\}$;
$B=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$;
$C=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\}$;
$D=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.