Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2000 год

Задача №1. Дано число

$188188\dots 188$ (число 188 написано 101 раз). Некоторые цифры этого числа вычеркнули. Какое наибольшее число, кратное 7, могло получиться?
комментарий/решение(7)

Задача №2. Можно ли раскрасить плоскость в 4 цвета так, чтобы внутри любого круга были точки всех четырех цветов?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Вписанная в ромб окружность касается его сторон

$AB$ и

$BC$ в точках

$E'$ и

$F'$ . Касательная

$l$ пересекает

$AB$ и

$BC$ в точках

$E$ и

$F$ . Докажите, что произведение

$AE\cdot CF$ не зависит от выбора касательной

$l$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что если произведение положительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ равно единице, то

$\dfrac{1}{{a(a + 1)}} + \dfrac{1}{{b(b + 1)}} + \dfrac{1}{{c(c + 1)}} \ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(8)

Задача №5. Существуют ли простые

$p$ и

$q$ , большие 3, такие, что

$p^2-1$ делится на

$q$ и

$q^2-1$ делится на

$p$ ?
комментарий/решение(2)

Задача №6. Пусть

$O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника

$ABC$ . Центры окружностей, описанных около треугольников

$OAB$ ,

$OBC$ ,

$OCA$ лежат в вершинах правильного треугольника. Докажите, что треугольник

$ABC$ — правильный.
комментарий/решение(5)

Задача №7. Каждые два из пяти правильных пятиугольников на плоскости имеют общую точку. Верно ли, что какие-то три из этих пятиугольников имеют общую точку?
комментарий/решение

Задача №8. В стране 2000 городов, из каждого из которых ведут ровно три дороги в другие города. Докажите, что можно закрыть 1000 дорог так, чтобы в стране не осталось ни одного замкутого маршрута, состоящего из нечетного числа дорог.
комментарий/решение(1)