Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл
p2−1, q-ге бөлінетіндей және q2−1, p-ге бөлінетіндей, 3-тен үлкен, p және q жай сандары табылады ма?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: нет
q=6k+1,6k−1
(i)q=6k−1
p∣(6k−1)2−1
p∣12k(3k−1)
p∣(12k−2)(6k−1)−2+6k+12k(3k−1)
p∣6k
p∤
lp=k
6lp-1=q
q \mid (\frac{q-1}{6l})^2-1
\frac{6k-2}{6l} \notin N \blacksquare
(ii)q=6k+1
p \mid 12k(3k+1)
p \mid (12k+2)(6k+1)-2-6k-36k^2-12k
p \mid 6k
p \nmid 6 \rightarrow p \mid k
lp=k
6lp+1=q
6lp+1 \mid (p+1)(p-1)
6lp+1 \mid (6lp+1)(p-1)+(6l-1)(p-1)
6lp+1 \mid 6lp+1-6l-p
6lp+1 \mid 6l+p
6l+p \ne 0, -k(6lp+1) \rightarrow 6lp+1=6l+p
6l(p-1)=p-1 \rightarrow 6l=1 \rightarrow \varnothing \blacksquare
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.