Processing math: 36%

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл


p21, q-ге бөлінетіндей және q21, p-ге бөлінетіндей, 3-тен үлкен, p және q жай сандары табылады ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
8 года 2 месяца назад #

Можно понять то что p неравно q.пусть p>q,тогда так как p,q нечётны p>q+1.С другой стороны,по условию (q+1)(q-1) делится на p,но ни один из сомножителей q+1 и q-1 на р не делится.Это доказывает что нт таких p и q.

пред. Правка 2   2
2 года 1 месяца назад #

Ответ: нет

q=6k+1,6k1

(i)q=6k1

p(6k1)21

p12k(3k1)

p(12k2)(6k1)2+6k+12k(3k1)

p6k

p

lp=k

6lp-1=q

q \mid (\frac{q-1}{6l})^2-1

\frac{6k-2}{6l} \notin N \blacksquare

(ii)q=6k+1

p \mid 12k(3k+1)

p \mid (12k+2)(6k+1)-2-6k-36k^2-12k

p \mid 6k

p \nmid 6 \rightarrow p \mid k

lp=k

6lp+1=q

6lp+1 \mid (p+1)(p-1)

6lp+1 \mid (6lp+1)(p-1)+(6l-1)(p-1)

6lp+1 \mid 6lp+1-6l-p

6lp+1 \mid 6l+p

6l+p \ne 0, -k(6lp+1) \rightarrow 6lp+1=6l+p

6l(p-1)=p-1 \rightarrow 6l=1 \rightarrow \varnothing \blacksquare