Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл
p2−1, q-ге бөлінетіндей және q2−1, p-ге бөлінетіндей, 3-тен үлкен, p және q жай сандары табылады ма?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: нет
q=6k+1,6k−1
(i)q=6k−1
p∣(6k−1)2−1
p∣12k(3k−1)
p∣(12k−2)(6k−1)−2+6k+12k(3k−1)
p∣6k
p∤6→p∣k
lp=k
6lp−1=q
q∣(q−16l)2−1
6k−26l∉N ◼
(ii)q=6k+1
p∣12k(3k+1)
p∣(12k+2)(6k+1)−2−6k−36k2−12k
p∣6k
p∤6→p∣k
lp=k
6lp+1=q
6lp+1∣(p+1)(p−1)
6lp+1∣(6lp+1)(p−1)+(6l−1)(p−1)
6lp+1∣6lp+1−6l−p
6lp+1∣6l+p
6l+p≠0,−k(6lp+1)→6lp+1=6l+p
6l(p−1)=p−1→6l=1→∅ ◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.